Czy dobrze wykazałem równość zbiorów?

[damiw]

Mam takie zadanie:
Wykazać że dla dowolnych zbiorów A B C prawdziwa jest równość(podając z jakich praw korzystam)
\(\displaystyle{ A \times (B \setminus C)=(A \times B) \setminus (A \times C)}\)

Zacząłem rozpisywać z prawej strony:
\(\displaystyle{ (A \times B) \setminus (A \times C) \Leftrightarrow \\
(x \in A \wedge y \in B) \wedge \neg (x \in A \wedge y \in C) \Leftrightarrow\\
x \in A \wedge y \in B \wedge x \neg \in A \vee y \neg \in C \Leftrightarrow\\
x \in A \wedge y \in B \wedge \neg \in C \Leftrightarrow \\
x \in A(y \in B \wedge y \neg \in C)}\)

ale to przedostatnie przejscie nie podoba mi się i podejrzewam że jest źle,podał mi je kolega ale jak tak patrze na nie to nie wiem dlaczego jeśli jest to poprawne ginie w tym kroku
\(\displaystyle{ X \neg \in A}\)

\(\displaystyle{ \neg \in}\) używałem zamiast przekreślonego \(\displaystyle{ \in}\)




Prosił bym zatem o pomoc w tym przekształceniu.

[lestkievich]

Ja bym rozpisał lewą stronę do prawej PS\(\displaystyle{ \times}\) to oczywiście \(\displaystyle{ \cap}\)-- 3 mar 2012, o 22:04 --zacznij rozpisywać lewą to ci pomogę

[damiw]

Nie wiem czy się nie mylę ale wydaje mi się ze \(\displaystyle{ \times}\) to jest \(\displaystyle{ \wedge}\)

Z lewej strony jak bym zaczął rozpisywać to nie wiem czy by było ok bo to były by tylko max 2 przekształcenia(chyba że się mylę) to by było niby ok ale nie wiem czy nie będzie się wykładowca czepiał, aczkolwiek powinienem mieć prawo wyboru z której strony:)


ps.Ok zaczynam rozpisywać z lewej strony zobaczymy jak to będzie.
\(\displaystyle{ A \times (B \setminus C)=x \in A \wedge(y \in B \wedge y \neg \in C)=(x \in A \wedge y \in B) \wedge y \neg \in C=(x \in A \wedge y \neg \in C) \vee (y \in B \wedge y \neg \in C)}\)

utknąłem w takim punkcie

[lestkievich]

\(\displaystyle{ \wedge}\) to koniunkcja zdań

tutaj masz zbiory.

[damiw]

Dokładnie mam tak zadanie przedstawione jak napisałem w pierwszym poście,z tymi \(\displaystyle{ \times}\)
Niestety nie kojarzę tych przekształceń a chciałbym sie tego nauczyć gdyż w poniedziałek piszę kolokwium poprawkowe ostatnie... i oprócz tego zadania będe miał do policzenia granice,pochodne i monotoniczność,a wziąłem sie też za to zadanie bo szkoda by było nie zrobić go bo nie wygląda jakoś strasznie groźnie aczkolwiek nie umiem go zrobić a nie ukrywam że chciał bym się nauczyć.

[lestkievich]

Rozpisz pierwsza linijkę lewej strony

[damiw]

wychodziło by mi cos takiego
\(\displaystyle{ A \cap (B \setminus C)=x \in A \wedge(y \in B \cap y \neg \in C)}\)


W dodatku mam takie pytanie kiedy jest \(\displaystyle{ x,y \in}\) a kiedy tylko \(\displaystyle{ x \in}\) bo widziałem że są takie zadania gdzie jest wszędzie \(\displaystyle{ x \in}\) a w niektórych dochodzi tez y ?

[lestkievich]

a po ci ???\(\displaystyle{ y}\)

definicja mówi, że\(\displaystyle{ x \in A\cup B \Leftrightarrow x\in A \vee x\in B}\)

-- 3 mar 2012, o 22:49 --

Czyli \(\displaystyle{ x}\) jest elementem zbioru \(\displaystyle{ A\cup B}\) jak jest elementem zbioru \(\displaystyle{ A}\) lub zbioru \(\displaystyle{ B}\)-- 3 mar 2012, o 22:54 --Bierzesz jeden element \(\displaystyle{ x}\)

[damiw]

ok to spróbuje zrobić to z tym jednym elementem.A kiedy są 2 elementy x i y?

Robiąc w ten sposób doszedłem do tej postaci:
\(\displaystyle{ A \times (B \setminus C) \Leftrightarrow X \in A \cap (x \in B \cap x \neg \in C) \Leftrightarrow (x \in A \cap x \in B) \cap x \neg \in C}\)

[lestkievich]

\(\displaystyle{ x\in A\cap B \Leftrightarrow x\in A \wedge x\in B}\)-- 3 mar 2012, o 22:59 --Nie bardzo wiem o co ci chodzi z tymi dwoma.m elementami, napisz wiecej. to wyjasnie

[damiw]

Chodziło mi o to że są pewnego rodzaju zadania w których tak jak Ty mi poleciłeś w tym przypadku wziąć tylko element \(\displaystyle{ x}\) ale bywają też takie w których musimy użyć\(\displaystyle{ x \in}\) do czegoś i dodatkowo \(\displaystyle{ y \in}\) czegoś i właśnie tego nie rozumiem kiedy się stosuje sam \(\displaystyle{ x}\) a kiedy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).

[Jan Kraszewski]

lestkievich, nie wprowadzaj zamieszania. Jak nie wiesz, o co chodzi, to nie pisz, bo nie pomagasz, tylko szkodzisz.

Mam takie zadanie:
Wykazać że dla dowolnych zbiorów A B C prawdziwa jest równość(podając z jakich praw korzystam)
\(\displaystyle{ A \times (B \setminus C)=(A \times B) \setminus (A \times C)}\)

Zacząłem rozpisywać z prawej strony:
\(\displaystyle{ (A \times B) \setminus (A \times C) \Leftrightarrow \\
(x \in A \wedge y \in B) \wedge \neg (x \in A \wedge y \in C) \Leftrightarrow\\
x \in A \wedge y \in B \wedge x \neg \in A \vee y \neg \in C \Leftrightarrow\\
x \in A \wedge y \in B \wedge \neg \in C \Leftrightarrow \\
x \in A(y \in B \wedge y \neg \in C)}\)

ale to przedostatnie przejscie nie podoba mi się i podejrzewam że jest źle,podał mi je kolega ale jak tak patrze na nie to nie wiem dlaczego jeśli jest to poprawne ginie w tym kroku

damiw, po pierwsze używaj
otin: \(\displaystyle{ \notin}\). Po drugie, zbiór nie może być równoważny funkcji zdaniowej. Powinieneś zacząć od:
\(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle\in (A \times B) \setminus (A \times C) \Leftrightarrow...}\)

A jeśli chodzi o zadanie, to istotnie przedostatnie przejście jest zbyt skrótowe. Tutaj

\(\displaystyle{ x \in A \wedge y \in B \wedge x \notin A \vee y \notin C}\)

brakuje nawiasów. Powinno być

\(\displaystyle{ x \in A \wedge y \in B \wedge (x \notin A \vee y \notin C)}\).

Teraz skorzystaj z rozdzielności koniunkcji względem alternatywy, traktując \(\displaystyle{ x \in A \wedge y \in B}\) jako jeden człon.

JK

[damiw]

Dziękuję.Spróbuje zrobić i dam znać czy mi wyszło.
edit.
\(\displaystyle{ (A \times B) \setminus (A \times C) \Leftrightarrow \\ (x \in A \wedge y \in B) \wedge \neg (x \in A \wedge y \in C) \Leftrightarrow\\ x \in A \wedge y \in B \wedge x \notin A \vee y \notin C \Leftrightarrow\\ x \in A \wedge y \in B \wedge (x \notin A \vee y \notin C)\Leftrightarrow\\x\in A \wedge (y\in B \wedge y\notin C )}\)

Tylko nie wiem czy to tak powinno być i jeśli tak to dlaczego pomija się to \(\displaystyle{ x \notin A}\) oraz dlaczego ze znaku \(\displaystyle{ \vee}\)zmienia się na \(\displaystyle{ \wedge}\)??

[Jan Kraszewski]

No nie, w ogóle nie zrobiłeś tego, co Ci napisałem. Powinno być

\(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle\in (A \times B) \setminus (A \times C) \Leftrightarrow (x \in A \wedge y \in B) \wedge \neg (x \in A \wedge y \in C) \Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow (x \in A \wedge y \in B )\wedge (x \notin A \vee y \notin C) \Leftrightarrow \mbox{ rozdzielność }\\
\Leftrightarrow ((x \in A \wedge y \in B )\wedge x \notin A)\lor ((x \in A \wedge y \in B )\wedge y \notin C) \Leftrightarrow ...}\)

JK