Rozwiąż nierówność - szereg geometryczny

[marek252]

Witam.
Mam rozwiązać taką nierówność.
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}+ \frac{1}{(1-x)^2}+ \frac{1}{(1-x)^3}+...>1-2x}\)
Dochodzę do tego:
\(\displaystyle{ \left| q\right|<1}\)
\(\displaystyle{ \left| \frac{1}{1-x} \right| <1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}\left| {1-x}\right|}\) \(\displaystyle{ <1}\)
I tutaj nie wiem co dalej zrobić. Jeżeli ktoś by mógł to proszę o rozpisanie.
Pozdrawiam

[anna_]

Rozwiązuj przedzialami
\(\displaystyle{ (- \infty ,1)}\)
\(\displaystyle{ (1,+ \infty )}\)

[marek252]

Tzn. wiem jak dalej rozwiązać, tylko właśnie nie potrafię wyznaczyć tych przedziałów x z warunku q<1. Możesz rozpisać, jak doszłaś do tych przedziałów?

[anna_]

Przdziały są z wartości bezwzględnej (po uwzględnieniu dziedziny)
\(\displaystyle{ x-1>0}\)
\(\displaystyle{ x>1}\)

\(\displaystyle{ x-1<0}\)
\(\displaystyle{ x<1}\)

[marek252]

Jednak dalej nie rozumiem.
Dlaczego akurat tak?
\(\displaystyle{ x-1>0}\)
Skąd to wzięłaś? Pomnożyłaś coś przez coś, przeniosłaś tą 1 z prawej strony?

[anna_]

Z definicji wartości bezwzględnej:

\(\displaystyle{ |1-x|= \begin{cases} 1-x\ dla \ 1-x \ge 0 \\ -(1-x) \ dla \ 1-x<0 \end{cases}}\)
czyli
\(\displaystyle{ |1-x|= \begin{cases} 1-x\ dla \ x \le 1 \\ x-1 \ dla \ x>1 \end{cases}}\)

Po uwzględnieniu dziedziny Twoja nierówność ma postać:

1. dla \(\displaystyle{ x>1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x-1}<1}\)

2. dla \(\displaystyle{ x<1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x}<1}\)

[marek252]

Do tego momentu rozumiem. Czyli teraz mam po prostu zrobić tak:
\(\displaystyle{ S= \frac{a _{1} }{1-q}}\)
\(\displaystyle{ S>1-2x}\)
Możesz to rozpisać tak jak wcześniejsze?

[anna_]

\(\displaystyle{ a_1=\frac{1}{1-x}}\)
\(\displaystyle{ q= \frac{1}{1-x}}\)
\(\displaystyle{ S= \frac{\frac{1}{1-x}}{1-\frac{1}{1-x}}=...=- \frac{1}{x}}\)

Rozwiązujesz nierówność:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{x} >1-2x}\)
potem jeszcze musisz uwzględnić to co wyszło z poprzednich rozwiązań nierówności

[lestkievich]

\(\displaystyle{ |q|<1}\)to założenie a rozwiązanie \(\displaystyle{ \left|\frac{1}{1-x}\right|<0}\)
to dziedzina nierówności

[marek252]

Wyszło mi:
\(\displaystyle{ \frac{-1-x+2x^2}{x}>0}\)
teraz mnożę licznik razy mianownik
\(\displaystyle{ -x-x^2+2x^3>0}\)
i co teraz?

[anna_]

\(\displaystyle{ \frac{-1-x+2x^2}{x}>0}\)

\(\displaystyle{ (2x^2-x-1)x>0}\)

Delta i pierwiastki dla trójmianu, potem rysujesz wężyk i odczytujesz rozwiązanie z wykresu

[lestkievich]

rozłóż licznik

[marek252]

Czyli:
\(\displaystyle{ x=-1}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ x=0}\)
Czyli wszystkie spełniają warunki dziedziny.
Rysuję wężyk i wychodzi mi:
\(\displaystyle{ x \in (-1;0)}\) i \(\displaystyle{ x \in ( \frac{1}{2};+ \infty) \setminus {1}}\)
I to jest ju końcowy wynik, tak?

[lestkievich]

jak miejsca zerowe sa dobre to tak

[marek252]

Ok. Dziękuję Wam za pomoc.