Oblicz wartość wyrażenia

[Novy]

Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ a^{-b}}\) jeśli:

\(\displaystyle{ a = ( 5^{ \frac{log_{100}3}{log3} } \cdot 3^{ \frac{ log_{100}5 }{log5} })^{2log_{15}8}}\)

oraz

\(\displaystyle{ b = \sqrt[4]{36-16 \sqrt{5} } \cdot (4 + 2 \sqrt{5})^{ \frac{1}{2}}}\)


nie umiem uproscić ani a, ani b

[math questions]

\(\displaystyle{ log _{100}3= \frac{log 3}{log100}= \frac{log3}{2}}\)

\(\displaystyle{ log _{100}5= \frac{log 5}{log100}= \frac{log5}{2}}\)

\(\displaystyle{ a= \left(5 ^{ \frac{1}{2} } \cdot 3 ^{ \frac{1}{2} } \right) ^{2log _{15} 8}=15 ^{ \frac{1}{2} \cdot }^{2log _{15} 8}=15 ^{log _{15} 8} =8}\)

[JakimPL]

W \(\displaystyle{ b}\), jeśli dobrze się przyjrzysz, masz już zawartą samą podpowiedź, jak należy to przekształcić .

\(\displaystyle{ 36-16 \sqrt{5} = 16 -16\sqrt{5} + 20 = (4-2\sqrt{5})^2}\)

[math questions]

\(\displaystyle{ b = \sqrt[4]{36-16 \sqrt{5} } \cdot (4 + 2 \sqrt{5})^{ \frac{1}{2}}= \sqrt[4]{(4-2 \sqrt{5} ) ^{2} } \cdot (4 + 2 \sqrt{5})^{ \frac{1}{2}}=\\ (2 \sqrt{5}-4)^{ \frac{1}{2}} \cdot ( 2 \sqrt{5}+4)^{ \frac{1}{2}}=(20-16) ^{ \frac{1}{2} }=2}\)

[Novy]

\(\displaystyle{ b = \sqrt[4]{36-16 \sqrt{5} } \cdot (4 + 2 \sqrt{5})^{ \frac{1}{2}}= \sqrt[4]{(4-2 \sqrt{5} ) ^{2} } \cdot (4 + 2 \sqrt{5})^{ \frac{1}{2}}=\\ (2 \sqrt{5}-4)^{ \frac{1}{2}} \cdot ( 2 \sqrt{5}+4)^{ \frac{1}{2}}=(20-16) ^{ \frac{1}{2} }=2}\)

dzieki

a skąd ta zmiana w drugiej linijcie z \(\displaystyle{ 4-2 \sqrt{5}...na... 2 \sqrt{5}-4}\) ?

[JakimPL]

\(\displaystyle{ 2\sqrt{5}}\) jest większe od \(\displaystyle{ 4}\), a pierwiastek z kwadratu to moduł z tej liczby, czyli wartość dodatnia.

[math questions]

dokładnie JakimPL
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2} }=|x|\\ \sqrt[3]{x ^{3} } =x}\)

[niestabilny]

Przepraszam, że odkopuje stary temat ale skąd wiadomo, że ta część \(\displaystyle{ b=(4-2\sqrt{5})^2}\)
a nie \(\displaystyle{ b=(2\sqrt{5}-4)^2}\)? Czy da się to tylko wywnioskować, z tego że dla tego drugiego wychodzi sprzecznosc bo ostatecznie jest minus pod pierwiastkiem, czy może \(\displaystyle{ b=(4-2\sqrt{5})^2}\)jest rowne\(\displaystyle{ b=(2\sqrt{5}-4)^2}\)?

[JakimPL]

\(\displaystyle{ b^2=\left(4-2\sqrt{5}\right)^2=\left(-1\right)^2\left(-4+2\sqrt{5}\right)^2=\left(2\sqrt{5}-4\right)^2}\)

Tak naprawdę nie ma znaczenia, jak to zapiszemy, jest to równoważne. Natomiast jeżeli chcemy obłożyć kwadrat pierwiastkiem, nie można zapominać o wartości bezwględnej:

\(\displaystyle{ \sqrt{b^2}=|b|=\left|2\sqrt{5}-4\right|=\left|4-2\sqrt{5}\right|=2\sqrt{5}-4}\)