funkcja ciągła

Kocurka · Post autor: **Kocurka** » 15 cze 2009, o 22:58

Czy istnieje funkcja ciągła \(\displaystyle{ f:A \rightarrow R}\) taka, że:
1. \(\displaystyle{ A=(0,1) \cup \lbrace 2 \rbrace: \ \ f(A)=(1,2]}\)
2. \(\displaystyle{ A=[1,2]: \ \ f(A)=(2,3)}\)
Odpowiedź uzasadnij.

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 16 cze 2009, o 05:06

1) Tak
\(\displaystyle{ f(x)=x+1,\ x\in (0,1)}\)
a dla \(\displaystyle{ 2}\) kładziemy \(\displaystyle{ f(2)=2}\)

2) Nie
Z tw Weirstrasa f-cja ciągła na zborze zwartym osiąga swoje kresy, a ta jak widać by nie osiągała ich.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 16 cze 2009, o 10:54

A to niby dlaczego by ich nie osiągała? Z czego to niby widać?

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 16 cze 2009, o 11:34

Obraz to \(\displaystyle{ (2,3)}\) a jego kresy to \(\displaystyle{ 2,3}\), które nie należą do obrazu.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 16 cze 2009, o 12:25

Narysuj sobie funkcję wielomianową, wystarczy sześcienna taka, która ma maksimum w 2,25 równe 1 i minimum w 2,75 równe -1, granicę w 2 i 3 ma równą 0. Nie da się?

fon_nojman · Post autor: **fon_nojman** » 16 cze 2009, o 12:39

Rogal nie wiem co twój przykład ma pokazywać. U ciebie będzie funkcja określona na \(\displaystyle{ (2,3)}\) której obrazem jest \(\displaystyle{ [-1,1]}\) jeżeli dobrze rozumiem. Ale w zadaniu dziedziną jest przedział \(\displaystyle{ [1,2]}\) a obraz \(\displaystyle{ (2,3)}\).

Rogal · Post autor: **Rogal** » 16 cze 2009, o 12:41

Sorry, odwrotnie popatrzyłem.