Siema. Mam problem z zadankiem z analizy. Nie było mnie na kilku zajęciach i nie bardzo wiem jak się zabrać do tego zadania:
dla jakich n granica jest właściwa. Czyli jak rozumiem ma być różna od 0 i nieskończoności.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{\sin (\tg x)-\tg (\sin x)}{x^n}}\)
Ćwiczeniowiec powiedział, żeby rozwinąć w środek, co kolwiek miałoby to znaczyć.
Proszę o pomoc.
Istnienie granicy właściwej w zależności od parametru
Istnienie granicy właściwej w zależności od parametru
Ostatnio zmieniony 1 mar 2012, o 11:06 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. \sin \cos \tg a nie sin cos tg.
Powód: Poprawa wiadomości. \sin \cos \tg a nie sin cos tg.
Istnienie granicy właściwej w zależności od parametru
O ile dobrze przepisałem zadanie \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}}\)
Istnienie granicy właściwej w zależności od parametru
Nie bardzo rozumiem dlaczego licznik ma być ograniczony oraz w ogóle nie mam pojęcia jak podejść do tego zadania.
-
cosinus90
- Użytkownik
- Posty: 5027
- Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 777 razy
Istnienie granicy właściwej w zależności od parametru
Wartości funkcji trygonometrycznych sinus oraz cosinus są ograniczone w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle -1,1\right\rangle}\). Wobec tego w liczniku otrzymasz liczbę skończoną. Co musi być w mianowniku aby granica była właściwa?
Istnienie granicy właściwej w zależności od parametru
Wiec jedynymi warunkami będą że \(\displaystyle{ x^{n} \neq \infty \wedge x^{n} \neq 0}\)? Jak myślicie, co miał na myśli ćwiczeniowiec mówiąc, żeby licznik rozwinąć w środek?
Istnienie granicy właściwej w zależności od parametru
Dobra, ten przykład był trywialny. Niestety nie za bardzo mogę się doliczyć odpowiedzi dla x zbiegającego do 0. Możecie podrzucić pomysł?
-- 4 cze 2012, o 22:24 --
Liczę z de'Hospitala i wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{x\frac{\cos(tgx)-\cos(x)}{(\cos^2x)}-(n\sin(tgx)-\tan(sinx))}{x^{n+1}}}\)
tutaj zaczynają się schody, gdyż nie mam pojęcia co robić dalej.
Proszę o szybką poradę, bo zadanie mam oddać do środy.
-- 5 cze 2012, o 17:02 --
Oczywiście policzyłem pochodną całej funkcji, a nie osobno licznika i mianownika. Prawidłowo wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{\frac{\cos(tanx)}{\cos^2(x)} - \frac{cosx}{cos^2(sinx)}}{nx^{n-1}}}\)
Stąd widać, że dla n=1 granica jest właściwa i wynosi 0.
teraz dalej mamy \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\). Jest sens liczyć dalej z de'Hospitala czy do niczego to nie doprowadzi?
Inny sposób, o którym proszę, żebyście się wypowiedzieli:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \frac{\sin(tgx)}{x^{n}}-\lim_{x\to\ 0} \frac{\tg(sinx)}{x^{n}}}\) i teraz
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \frac{\sin(tgx)}{x^{n}}=\lim_{x\to\ 0} \frac{\sin(tgx)}{tgx}\frac{tgx}{x^{n}}}\) , podstawiam zmienną t=tgx, t\(\displaystyle{ \rightarrow}\) 0 i mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \frac{\sin(t)}{t}*\lim_{x\to\ 0} \frac{t}{x^{n}}}\) , a więc \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \frac{\sin(t)}{t}=1}\) ,a więc wszystko zależy w 1 wyrażeniu od \(\displaystyle{ \frac{t}{x^{n}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{t}{x^{n}} = \frac{1}{n\cos^{2}x*x^{n-1}} = \frac{1}{nx^{n-1}}}\) analogicznie
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \frac{\tg(sinx)}{x^{n}}=\lim_{x\to\ 0} \frac{g}{x^{n}}=\frac{cosx}{nx^{n-1}}}\) , g=sinx, g\(\displaystyle{ \rightarrow}\) 0 , a więc finalnie mamy obliczyć dla jakich n granica jest właściwa w wyrażeniu
\(\displaystyle{ \frac{1-cosx}{nx^{n-1}}}\)
-- 6 cze 2012, o 21:11 --
Rozmawiałem dzisiaj z ćwiczeniowcem i Hospital nie działa w tym przypadku. Podobnie jest z moim 2gim podejściem. Dostałem wskazówkę, żeby polecieć z Taylora (podobno wychodzą jakieś wielomiany i wszystko ładnie wychodzi). Niestety przespałem zajęcia z Taylora. Mam liczyć kolejne pochodne? Jeżeli tak, to jaki punkt obrać?
-- 4 cze 2012, o 22:24 --
Liczę z de'Hospitala i wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{x\frac{\cos(tgx)-\cos(x)}{(\cos^2x)}-(n\sin(tgx)-\tan(sinx))}{x^{n+1}}}\)
tutaj zaczynają się schody, gdyż nie mam pojęcia co robić dalej.
Proszę o szybką poradę, bo zadanie mam oddać do środy.
-- 5 cze 2012, o 17:02 --
Oczywiście policzyłem pochodną całej funkcji, a nie osobno licznika i mianownika. Prawidłowo wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{\frac{\cos(tanx)}{\cos^2(x)} - \frac{cosx}{cos^2(sinx)}}{nx^{n-1}}}\)
Stąd widać, że dla n=1 granica jest właściwa i wynosi 0.
teraz dalej mamy \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\). Jest sens liczyć dalej z de'Hospitala czy do niczego to nie doprowadzi?
Inny sposób, o którym proszę, żebyście się wypowiedzieli:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \frac{\sin(tgx)}{x^{n}}-\lim_{x\to\ 0} \frac{\tg(sinx)}{x^{n}}}\) i teraz
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \frac{\sin(tgx)}{x^{n}}=\lim_{x\to\ 0} \frac{\sin(tgx)}{tgx}\frac{tgx}{x^{n}}}\) , podstawiam zmienną t=tgx, t\(\displaystyle{ \rightarrow}\) 0 i mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \frac{\sin(t)}{t}*\lim_{x\to\ 0} \frac{t}{x^{n}}}\) , a więc \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \frac{\sin(t)}{t}=1}\) ,a więc wszystko zależy w 1 wyrażeniu od \(\displaystyle{ \frac{t}{x^{n}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{t}{x^{n}} = \frac{1}{n\cos^{2}x*x^{n-1}} = \frac{1}{nx^{n-1}}}\) analogicznie
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} \frac{\tg(sinx)}{x^{n}}=\lim_{x\to\ 0} \frac{g}{x^{n}}=\frac{cosx}{nx^{n-1}}}\) , g=sinx, g\(\displaystyle{ \rightarrow}\) 0 , a więc finalnie mamy obliczyć dla jakich n granica jest właściwa w wyrażeniu
\(\displaystyle{ \frac{1-cosx}{nx^{n-1}}}\)
-- 6 cze 2012, o 21:11 --
Rozmawiałem dzisiaj z ćwiczeniowcem i Hospital nie działa w tym przypadku. Podobnie jest z moim 2gim podejściem. Dostałem wskazówkę, żeby polecieć z Taylora (podobno wychodzą jakieś wielomiany i wszystko ładnie wychodzi). Niestety przespałem zajęcia z Taylora. Mam liczyć kolejne pochodne? Jeżeli tak, to jaki punkt obrać?