Całka nieoznaczona

[vesdin]

\(\displaystyle{ \int\frac{x-1}{\sqrt[3]{x+1}} dx}\)

Jakie podstawienie wykorzystać do obliczenia tej całki? Czy \(\displaystyle{ t = x + 1}\) będzie dobrym podstawieniem? Próbowałem je wykorzystać, ale nie doprowadza mnie ono do poprawnej odpowiedzi.

[Chromosom]

\(\displaystyle{ x+1=t^3}\)

[vesdin]

Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ \int\frac{x-1}{\sqrt[3]{x+1}} dx = \left| \begin{array}{c} x + 1 = t^3 \\ dx = 3t^2 dt \\ x = t^3 - 1 \end{array} \right| = \int \frac{t^3 -2}{t} 3t^2dt =3 \int (t^4 - 2t) dt = \\ =3(\frac{1}{5} t^5 - t^2) + C = \frac{3}{5} t^5 - 3 t^2 + C = \frac{3}{5}(x+1)^\frac{5}{3} - 3(x+1)^\frac{2}{3} + C}\)

Wynik z wolfram alpha ( ... %2F3%29+dx ):
\(\displaystyle{ \frac{3}{5}x (x+1)^\frac{2}{3} - \frac{12}{5}(x+1)^\frac{2}{3} + C}\)

Co robię źle?

[lestkievich]

jak dla mnie ok, może to tylko kwestia przekształceń

[vesdin]

A może jest jeszcze inny sposób na rozwiązanie tej całki? W książce odpowiedzią jest \(\displaystyle{ \frac{3}{5}(x-4)\sqrt[3]{(x+1)^2} + C}\)
Jak dojść do takiej postaci?

[Chromosom]

Wyłącz przed nawias \(\displaystyle{ \frac35(x+1)^\frac23}\). W odpowiedzi brakuje stałej całkowania.

[vesdin]

Racja, już poprawione. W książce jest małym druczkiem napisane, że w rozwiązaniach pominięta jest stała C.

Dzięki za podpowiedź z wyłączeniem przed nawias, niby oczywiste ale jakoś na to nie wpadłem.

Nadal intryguje mnie kwestia poprawnego rozwiązania tej całki. Jest drobna rozbieżność, gdyż z moich obliczeń wychodzi czynnik 3 w drugim składniku, podczas gdy wolfram alpha i książka mówią o \(\displaystyle{ \frac{12}{5}}\). Nie wydaje mi się, żeby tak mogło to zostać, jeśli się mylę, może mnie ktoś wyprowadzi z błędu.

[Chromosom]

\(\displaystyle{ \frac35(x+1)^\frac53-3(x+1)^\frac23=\frac35(x+1)(x+1)^\frac23-3(x+1)^\frac23=\\ \\=\frac35x(x+1)^\frac23+\frac35(x+1)^\frac23-3(x+1)^\frac23}\)