parametr a

[kitka16]

Dla jakich wartości parametru a równanie \(\displaystyle{ x ^{4}-2ax ^{2}+a-1=0}\) ma 4 rozne pierwiastki

[math questions]

\(\displaystyle{ x ^{4}-2a ^{2}+a-1=0}\)

\(\displaystyle{ x ^{4}=2a ^{2}-a+1}\)

\(\displaystyle{ x ^{4}= \sqrt[4]{2a ^{2}-a+1}}\)

\(\displaystyle{ 2a ^{2}-a+1>0 \Rightarrow a \in R}\)

tylko nie wiem jak tu można otrzymać 4 różne pierw.

[lestkievich]

a kiedy równanie typy \(\displaystyle{ x^4-16=0}\) ma 4 róźne pierwiastki

odpowiedz brzmi nigdy

ogólnie dla \(\displaystyle{ a<0}\)
\(\displaystyle{ x^4-a=(x^2-\sqrt{a})(x^2+\sqrt{a})=(x-\sqrt[4]{a})(x+\sqrt[4]{a})(x+\sqrt{x})}\)
dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x=\sqrt[4]{a}}\) lub \(\displaystyle{ x=-\sqrt[4]{a}}\)


dla \(\displaystyle{ a=0}\)
\(\displaystyle{ x^4=0}\)
jedno rozwiazanie
ogólnie dla \(\displaystyle{ a>0}\)

dla \(\displaystyle{ a>0}\)
\(\displaystyle{ x^4+a}\) da sie rozłożyc na iloczyn, ale trójmianów o wyróżku \(\displaystyle{ \Delta<0}\)

i nie ma żądnego pierwiastka

Nie ma znaczenia jaką wartość przyjmie końcówka będą góra dwa

[kitka16]

w zadaniu byl blad z mojej strony, teraz zostalo poprawione

[math questions]

a tam to jest \(\displaystyle{ x}\) czy \(\displaystyle{ x ^{2}}\)

[lestkievich]

A to nie jest przypadkiem \(\displaystyle{ x^4-2ax^2+a-1=0}\)

[kitka16]

tak tak

[math questions]

\(\displaystyle{ x ^{2}=t}\)

\(\displaystyle{ t ^{2} -2at+a-1=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ t _{1} \cdot t _{2} >0 \\ t _{1} + t _{2} >0 \end{cases}}\)

[kitka16]

ale delta wychodzi ujemna

[lestkievich]

oczywiście skorzystaj ze wzorów Viete'a

-- 29 lut 2012, o 18:45 --

\(\displaystyle{ \Delta=4a^2-4a+4}\)

[math questions]

no to jaki wniosek (ramiona paraboli skierowane do góry)

[kitka16]

ale czemu wzory vieta? przeciez moga byc chyba pierwiastki ujemne?-- 29 lut 2012, o 19:11 --czy wynik ma byc \(\displaystyle{ a>1}\)

[math questions]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ t _{1} \cdot t _{2} >0 \\ t _{1} + t _{2} >0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \Delta>0 \\ \frac{c}{a} >0 \\ \frac{-b}{a} >0 \end{cases}}\)

[lestkievich]

ale czemu wzory vieta? ]

Bo pozwolą dobrać ci dodatnie rozwiązania równania z niewiadomą \(\displaystyle{ t}\)

przeciez moga byc chyba pierwiastki ujemne?

ogólnie owszem, ale jedno dodatnie \(\displaystyle{ t}\) da ci dwa rozwiązania równania wyjściowego z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\)

A skoro mają być \(\displaystyle{ 4}\) rozwiązania równania z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\), to oba pierwiastki równania kwadratowego z niewiadomą \(\displaystyle{ t}\) powinny być dodatnie

Dlatego rozpatrujesz takie założenia