macierz funkcji sinus
macierz funkcji sinus
Witam,
bardzo proszę o pomoc z zadaniem:
Znajdź macierz \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{2} A \right)}\) dla \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&2\\3&2\end{bmatrix}}\)
bardzo proszę o pomoc z zadaniem:
Znajdź macierz \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \pi }{2} A \right)}\) dla \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&2\\3&2\end{bmatrix}}\)
Ostatnio zmieniony 15 cze 2012, o 23:11 przez MichalPWr, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
macierz funkcji sinus
Spróbuj wyznaczyć wzór na \(\displaystyle{ n}\)-tą potęgę macierzy \(\displaystyle{ A}\) (poprawność obliczeń warto potwierdzić dowodem indukcyjnym).
Potem skorzystaj z rozwinięcia funkcji sinus w szereg Maclaurina.
Potem skorzystaj z rozwinięcia funkcji sinus w szereg Maclaurina.
macierz funkcji sinus
kurcze... mógłby mi ktoś pokazać jak takie coś liczyć?
i w ogóle jaki jest tego sens, do czego coś takiego może służyć.
nie miałam czegoś takiego na zajęciach a dali na egzaminie więc nie mam zielonego pojęcia o co tu chodzi...
i w ogóle jaki jest tego sens, do czego coś takiego może służyć.
nie miałam czegoś takiego na zajęciach a dali na egzaminie więc nie mam zielonego pojęcia o co tu chodzi...
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 21 paź 2011, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
macierz funkcji sinus
Ja umiem, ale zadania nie umiem zrobić a mam podobne.
\(\displaystyle{ \sin {x} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right) ^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{ \left( 2n-1 \right) !}}\)
\(\displaystyle{ A^{n} = \frac{1}{5}{\left[\begin{array}{ccc}3 \left( -1 \right) ^{n} + 2^{2n+1} & 2^{2n+1} - 2 \left( -1 \right) ^{n}\\3 \cdot 2^{2n} - 3 \left( -1 \right) ^{n} & 3 \cdot 2^{2n+1} + 2 \left( -1 \right) ^{n}\end{array}\right]}\)
Co mam zrobić z tymi wyszukanymi tworami?
\(\displaystyle{ \sin {x} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right) ^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{ \left( 2n-1 \right) !}}\)
\(\displaystyle{ A^{n} = \frac{1}{5}{\left[\begin{array}{ccc}3 \left( -1 \right) ^{n} + 2^{2n+1} & 2^{2n+1} - 2 \left( -1 \right) ^{n}\\3 \cdot 2^{2n} - 3 \left( -1 \right) ^{n} & 3 \cdot 2^{2n+1} + 2 \left( -1 \right) ^{n}\end{array}\right]}\)
Co mam zrobić z tymi wyszukanymi tworami?
Ostatnio zmieniony 15 cze 2012, o 23:12 przez MichalPWr, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Skaluj nawiasy. Znak mnożenia to \cdot.
Powód: Poprawa wiadomości. Skaluj nawiasy. Znak mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
macierz funkcji sinus
Do rozwinięcia funkcji podstaw macierz \(\displaystyle{ A}\) w miejsce argumentu \(\displaystyle{ x}\) (lub \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}A}\) w miejsce \(\displaystyle{ x}\), jeśli mowa o podanym na początku tematu zadaniu).
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 21 paź 2011, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
macierz funkcji sinus
Mam potraktować kolejne potęgi macierzy jako kolejne rozwinięcia szeregu? Czy \(\displaystyle{ A^n}\) była niepotrzebna?
Mogę prosić o komentarz, dlaczego tak to się robi, skąd to się bierze?
Mogę prosić o komentarz, dlaczego tak to się robi, skąd to się bierze?
Ostatnio zmieniony 16 cze 2012, o 13:05 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Cały kod LaTeX-a umieszczaj między tagami[latex], [/latex] .
Powód: Cały kod LaTeX-a umieszczaj między tagami
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
macierz funkcji sinus
Dokładnie tak. Nie warto jednak rozwijać wzoru, tylko pozostawić go w zwartej postaci szeregu, wstawiając w miejsce \(\displaystyle{ x^{2n-1}}\) wyrażenie \(\displaystyle{ A^{2n-1}}\).Dzem77 pisze:Mam potraktować kolejne potęgi macierzy jako kolejne rozwinięcia szeregu?
-
- Użytkownik
- Posty: 249
- Rejestracja: 15 wrz 2008, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Syberia
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 32 razy
macierz funkcji sinus
Można to jeszcze zrobić w miarę prosto z twierdzenia spektralnego, które mówi, że dla każdej macierzy \(\displaystyle{ A}\) o wartościach własnych \(\displaystyle{ \lambda_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,...,m}\) i odpowiadających im krotnościach \(\displaystyle{ k_{i}}\) istnieją macierze \(\displaystyle{ M_{i,p_{i}}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,...,m}\) oraz \(\displaystyle{ p_{i}=0,1,...,k_{i}-1}\), że dla każdej funkcji analitycznej \(\displaystyle{ f(x)}\) zbieżnej w pewnym kole zachodzi: \(\displaystyle{ f(A)= \sum_{i=1}^{m} \sum_{p_{i}=0}^{k_{i}-1} M_{i,p_{i}}\cdot f^{(p_{i})}(\lambda_{i})}\).
Aby wyznaczyć macierze \(\displaystyle{ M}\), musimy znaleźć wartości własne \(\displaystyle{ A}\), a są to 4 i -1, więc szukamy macierzy \(\displaystyle{ M_{1,0},M_{2,0}}\), a potem stosujemy twierdzenie spektralne do funkcji: \(\displaystyle{ 1, x}\), skąd te macierze wyznaczamy i na koniec stosujemy tw. spektralne do funkcji: \(\displaystyle{ \sin(t\cdot x)}\), gdzie t jest parametrem i stąd już wyjdzie to, co trzeba dla \(\displaystyle{ t=\frac{\pi}{2}}\).
Aby wyznaczyć macierze \(\displaystyle{ M}\), musimy znaleźć wartości własne \(\displaystyle{ A}\), a są to 4 i -1, więc szukamy macierzy \(\displaystyle{ M_{1,0},M_{2,0}}\), a potem stosujemy twierdzenie spektralne do funkcji: \(\displaystyle{ 1, x}\), skąd te macierze wyznaczamy i na koniec stosujemy tw. spektralne do funkcji: \(\displaystyle{ \sin(t\cdot x)}\), gdzie t jest parametrem i stąd już wyjdzie to, co trzeba dla \(\displaystyle{ t=\frac{\pi}{2}}\).