zbieżność szeregu i suma

[foox92]

Polecenie : Korzystając z def. zbadać zbieżność szeregu i obliczyc jego sumę.

1. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{{\infty}} \frac{n- \sqrt{ n^{2}-1 } }{ \sqrt{n(n+1)} } }}\)

I pytanie z definicji oznacza konieczny zbieżności szeregów??

Jedyne co zrobilem to policzylem granice tego szeregu to wyszło \(\displaystyle{ 0}\) czyli chyba jest zbieżny?
a sume to nie mam pojęcia.

[lestkievich]

Nie każdy szereg zbieżny, ma granicę równą zero. Ale to granica \(\displaystyle{ \lim a_n=0}\) nie jest wystarczająca do zbieżności szeregu, może być , ale nie musi.

[foox92]

hmm to jak to sprawdzić z definicji i zeby byl to wystarczający dowód?.. no podstawowe kryteria znam (d'alembert'a i Couchy'ego) ale tego niestety nie wiem jak zrobic

Edit : i sume tego ciągu..

[lestkievich]

szczerze mówiąc nie spotkałem się z poleceniem zbadania zbieżności z definicji

[foox92]

heh no ja mam tak w poleceniu.. a jakim sposobem Pan wykazałby tą zbieżność ?? zeby nie było wątpliwości?

[lestkievich]

1. kryterium poraównawcze
2. cauchy
3. d'alemberta

[Dasio11]

Jak każą z definicji, to najczęściej da się tak zrobić, tylko nie od razu widać jak.

\(\displaystyle{ \frac{n- \sqrt{ n^{2}-1 } }{ \sqrt{n(n+1)} } } = \sqrt{\frac{n^2}{n(n+1)}} - \sqrt{\frac{(n+1)(n-1)}{n(n+1)}} = \sqrt{ \frac{n}{n+1}} - \sqrt{ \frac{n-1}{n} }}\)

Jak brzmi definicja zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum \frac{n-\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n(n+1)}} ?}\)

[foox92]

Chyba w tym przypadku szereg jest zbiezny gdy ma granice \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } an = 0}\) ?.
A w zeszycie z cwiczen (to samo zadanie lecz inny podpunkt) mam jeden przyklad rozwiązany to prowadzący najpierw liczy sume tego szeregu a potem granice tej sumy..
Tylko jak policzyc taka sume..

[Dasio11]

O właśnie. Szereg \(\displaystyle{ \sum \frac{n-\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n(n+1)}}}\) jest zbieżny, jeśli istnieje skończona granica

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^n \frac{j-\sqrt{j^2-1}}{\sqrt{j(j+1)}}.}\)

Wyliczyliśmy, że \(\displaystyle{ \frac{j-\sqrt{j^2-1}}{\sqrt{j(j+1)}} = \sqrt{ \frac{j}{j+1}} - \sqrt{ \frac{j-1}{j },}\) więc

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n \frac{j-\sqrt{j^2-1}}{\sqrt{j(j+1)}} = \sum_{j=1}^n \left( \sqrt{ \frac{j}{j+1}} - \sqrt{ \frac{j-1}{j }} \right) = \\ \\
\left( \sqrt{ \frac{1}{2}} - \sqrt{ \frac{0}{1 }} \right) + \left( \sqrt{ \frac{2}{3}} - \sqrt{ \frac{1}{2 }} \right) + \left( \sqrt{ \frac{3}{4}} - \sqrt{ \frac{2}{3 }} \right) + \ldots + \left( \sqrt{ \frac{n}{n+1}} - \sqrt{ \frac{n-1}{n} } \right).}\)

Widzisz, że wiele się skróci?

[foox92]

Tak, widzę.. nie jest to takie proste trzeba wpaść na dobry pomysł i wtedy da rade coś ruszyc..

Suma wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{0}{1 }} + \sqrt{ \frac{n}{n+1}} = \sqrt{ \frac{n}{n+1}}}\)


hmmm tylko teraz granica sumy jest \(\displaystyle{ 1}\) A granica szeregu początkowego \(\displaystyle{ 0}\).. czyli chyba jest zbieżny, tak?

[Dasio11]

Masz rację - granica ciągu sum częściowych wynosi \(\displaystyle{ 1:}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{j=1}^n \frac{j-\sqrt{j^2-1}}{\sqrt{j(j+1)}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{ \frac{n}{n+1}} = \sqrt{1} = 1,}\)

a zatem z definicji wykazałeś, że

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{\infty} \frac{j-\sqrt{j^2-1}}{\sqrt{j(j+1)}} =1}\)

czyli w szczególności szereg ten jest zbieżny.