Zbieżność szeregu

[LanskapuchA]

Mam problem z pewnym szeregiem. W ogóle nie wiem z którego kryterium się do niego dobrać:

\(\displaystyle{ \sum_{n=3}^{ \infty } (\ln ^{-\ln n}(\ln n))}\).

Prosiłbym o rozjaśnienie umysłu.

[xanowron]

Próbowałeś kryterium kondensacyjnego?

[LanskapuchA]

Szczerze to nie ponieważ takiego kryterium nie miałem w programie. Miałem jedynie d'Alemberta, porównawcze, ilorazowe, Cauchy'ego, Leibniza, całkowe. Więc próbowałem ugryźć ten szereg tylko i wyłącznie korzystając z tych kryteriów.

[xanowron]

Kryterium kondensacyjne (zagęszczeniowe) jest bardzo proste i skuteczne, warto je znać. Spróbuj o nim przeczytać (choćby na wiki) i je tutaj zastosować.

[LanskapuchA]

Ok. Dostaniemy szereg do zbadania postaci:

\(\displaystyle{ \sum_{n=3}^{ \infty } \frac{ 2^{n} }{[\ln (\ln 2^{n})] ^{\ln 2^{n} } }}\)

Badamy jego zbieżność:

po przekształceniach nasze \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ 2^{n} }{[\ln (n\ln 2)]^{n\ln 2}}= \left( \frac{2}{[\ln (n\ln 2)]^{\ln 2}}\right) ^{n}}\)

Korzystamy z kryterium Cauchy'ego:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{\left( \frac{2}{[\ln (n\ln 2)]^{\ln 2}}\right) ^{n}}= \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{2}{[\ln (n\ln 2)]^{\ln 2}}\right) = 0 < 1}\) czyli jest zbieżny czyli nasz wyjściowy też jest zbieżny.

A z tych kryteriów przeze mnie wypisanych wyżej nie dałoby się jakoś tego pociągnąć?

[Dasio11]

Dałoby się.

\(\displaystyle{ \ln^{- \ln n} (\ln n) = e^{- \ln n \cdot \ln \ln \ln n} = \frac{1}{n^{\ln \ln \ln n}} \le \frac{1}{n^2}}\)

od pewnego momentu.

[LanskapuchA]

Dałoby się.

(...) \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{\ln \ln \ln n}} \le \frac{1}{n^2}}\)

od pewnego momentu.

Skąd to wiadomo? Bo ja tego nie widzę niestety.

[Dasio11]

Tak jest dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ \ln \ln \ln n \ge 2,}\) czyli

\(\displaystyle{ \ln \ln n \ge e^2 \\
\ln n \ge e^{e^2} \\ \\
n \ge e^{e^{e^2}}}\)

a więc istotnie, od pewnego momentu.