Równanie różniczkowe cząstkowe

[solmech]

Witam,

prosze o pomoc z równaniem różniczkowym cząstkowym:

\(\displaystyle{ u _{xy} - u _{yy} = u _{y}}\)

I teraz robie:

\(\displaystyle{ u(x,y) = v(x) \cdot w(y)}\)

Podstawiajac otrzymuje:

\(\displaystyle{ v'(x) \cdot w'(y) - v(x) \cdot w''(x) = v(x) \cdot w'(y)}\)

Co musze teraz zrobic?

Pozdrawiam
Tomek

[luka52]

Można przekształcić do:

\(\displaystyle{ \frac{v'(x)}{v(x)} = \frac{w'(y) + w''(y)}{w'(y)} = \text{const}}\)

[solmech]

Czy to zawsze (zazwyczaj) jest cel??

Dzielac obie strony przez \(\displaystyle{ v(x) \cdot w'(y)}\)

otrzymuje:

\(\displaystyle{ \frac{v'(x)}{v(x)} - \frac{w''(y)}{w'(y)} = 1}\)

Tak?

[luka52]

Wychodzi to samo (pamiętaj o założeniach! ).
Cel jest taki, by po jednej stronie była zależność tylko od \(\displaystyle{ x}\), a po drugiej tylko od \(\displaystyle{ y}\). Wtedy gdy są sobie równe mogą być jedynie pewną liczbą. Stąd można rozwiązać równania różniczkowe na \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ w}\).

[solmech]

Dzieki Zrozumialem

Podpowiesz mi jeszcze jedna rzecz?

Mianowicie otrzymuje cos takiego:

\(\displaystyle{ \frac{w''(y)}{w'(y)} = K-1}\)

I tu sa chyba rozne sposoby by oblizyc \(\displaystyle{ w(y)}\).

Mozna podwojnie calkowac lub obliczyc miejsca zerowe \(\displaystyle{ P(\lambda)}\)

\(\displaystyle{ P(\lambda)= \lambda^{2}-(K-1) \lambda}\)

Pytanie: Ktory sposob jest "latwiejszy"?

[luka52]

Jak Ci jest wygodniej. W przypadku wielomianu charakterystycznego o prostych do odczytania pierwiastkach można od razu zapisać rozwiązanie, więc tu stawiałbym na tę metodę .

[solmech]

Super, bardzo dziekuje!