granica funkcji wielu zmiennych

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 27 lut 2012, o 10:13

zbadać istnienie granic i granic iterowanych funkcji
a) \(\displaystyle{ f\left( x,y\right)= \frac{x ^{2}y ^{2} }{4x ^{2}+y ^{2} }}\) w punkcie \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\)
b) \(\displaystyle{ f\left( x,y\right)= \frac{\left( x-1\right) ^{2}\left( y+2\right) ^{2} }{\left( x-1\right) ^{2}\left +( y+2\right) ^{2} }}\) w punkcie \(\displaystyle{ \left( 1,-2\right)}\)

Z góry wielkie dzięki

maciejsporysz · Post autor: **maciejsporysz** » 27 lut 2012, o 11:02

Wprowadzając współrzędne biegunowe
\(\displaystyle{ x=r \cos \alpha, y= r \sin \alpha}\)
przechodzimy na granicę funkcji jednej zmiennej
\(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos ^2 \alpha \cdot r^2 \sin ^2 \alpha }{4r^2 \cos ^2 \alpha+ r^2 \sin ^2 \alpha}= \lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cdot \cos ^2 \alpha \cdot \sin ^2 \alpha}{4 \cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha}=0}\)
W drugim przypadku analogicznie, przy czym
\(\displaystyle{ x=r \cos \alpha+1, y= r \sin \alpha-2}\)
\(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos ^2 \alpha r^2 \sin ^2 \alpha }{r^2}=0}\)

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 27 lut 2012, o 11:05

a jak to policzyć nie przechodząc na funkcje jednej zmiennej ?

maciejsporysz · Post autor: **maciejsporysz** » 27 lut 2012, o 11:18

Zawsze masz na początku dylemat. Albo ciąg będzie zbieżny, albo rozbieżny. W pierwszym wypadku należy szacować granicę (np za pomocą tw. o trzech ciągach), w drugim dobrać dwa różne ciągi, które doprowadzą do różnych granic.
Może najlepiej na drugim przykładzie, w zasadzie mamy granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0)}{\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}}}\)
Skorzystamy z tw. o trzech ciągach
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \le \frac{(x^2+y^2)^2-(x^4+y^4)}{2(x^2+y^2)} \le \frac{(x^2+y^2)^2}{2(x^2+y^2)} \le \frac{x^2+y^2}{2}}\)
I teraz już jest jasne, że prawa strona dąży do zera, więc ciąg wyjściowy będzie zmierzał do zera.
PS.
Po drodze wykorzystałem wzór skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ (x^2+y^2)^2=x^4+2x^2y^2+y^4}\)
czyli
\(\displaystyle{ x^2y^2=\frac{(x^2+y^2)^2-(x^4+y^4)}{2}}\)
W pierwszym podobnie

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 27 lut 2012, o 11:42

a mam takie pytanie czy taki sposób jest dobry
\(\displaystyle{ 0 \le \left| \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \right| =\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \le \frac{x^2y^2}{x^2}=y^2}\)

bo z tym wzorem to nie wpadłabym na taki pomysł

maciejsporysz · Post autor: **maciejsporysz** » 27 lut 2012, o 11:54

Jasne. Do rozwiązania prowadzi wiele dróg. Ta jest jak najbardziej poprawna.