Wartosc bezwzgledna w kwadracie pierwiastka

[makuu]

Dlaczego mamy taki wzor: \(\displaystyle{ \sqrt{ \left(a+b \right) ^{2} } = \left| a+b\right|}\)?

Przeciez pierwiastek kwadratowy z kwadratu to pierwiastek z liczby dodatniej czyli dla a dodatniej: \(\displaystyle{ \sqrt{a}=m \vee -m}\), przeciez \(\displaystyle{ \sqrt{4} =2 \vee -2}\). Skad wiec ta wartosc bezwzgledna w tym wzorze?

[szw1710]

Bo \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=|x|}\). Sprawdź. Lewa strona ma sens dla każdego \(\displaystyle{ x.}\) Pierwiastek jest liczbą nieujemną. I koniec. Dla liczb dodatnich nie ma problemu: jeśli \(\displaystyle{ x\ge 0,}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=x.}\) Jeśli \(\displaystyle{ x<0,}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=-x}\), gdyż wtedy \(\displaystyle{ -x>0}\) oraz \(\displaystyle{ (-x)^2=x^2.}\) Żeby to zapisać jednym wzorem mamy \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=|x|}\).

[makuu]

A \(\displaystyle{ \sqrt{ (-3)^{2} }= \sqrt{9}}\). Przeciez \(\displaystyle{ \sqrt{9} =3 \vee \sqrt{9}=-3}\). Czy nie? jesli nie, to czemu przy liczeniu pierwiastkow trojmianu liczymy dwa pierwiastki? wydaje sie ze dlatego, bo delta, jesli jest dodatnia, ma dwa pierwiastki kwadratowe jak kazda dodatnia liczba, przeciez. W wikipedii znalazlem: "Liczba 2 jest pierwiastkiem czwartego stopnia z 16, gdyż \(\displaystyle{ 2^4 = 16}\). Jest to jedyna dodatnia liczba rzeczywista o tej własności i to właśnie ona nazywana jest pierwiastkiem arytmetycznym; innym pierwiastkiem rzeczywistym tej liczby jest − 2;". Wiec jak to w koncu jest?

[szw1710]

\(\displaystyle{ \sqrt{9}=3}\). Pierwiastek zawsze jest liczbą nieujemną. Równanie \(\displaystyle{ x^2=9}\) ma dwa rozwiązania \(\displaystyle{ \pm 3.}\) Mylisz te pojęcia.

\(\displaystyle{ x^2=9\iff\sqrt{x^2}=\sqrt{9}\iff |x|=3\iff x=\pm 3.}\)

[makuu]

\(\displaystyle{ \sqrt{9}=3}\). Pierwiastek zawsze jest liczbą nieujemną. Równanie \(\displaystyle{ x^2=9}\) ma dwa rozwiązania \(\displaystyle{ \pm 3.}\) Mylisz te pojęcia.

\(\displaystyle{ x^2=9\iff\sqrt{x^2}=\sqrt{9}\iff |x|=3\iff x=\pm 3.}\)

Dzieki. A jeszcze jedno pytanie: rozumiem ze to jest tak umownie, ze \(\displaystyle{ \sqrt{9}=3}\) a nie ze \(\displaystyle{ \sqrt{9}=3 \vee \sqrt{9}=-3}\) (dla liczb rzeczywistych)? rozumiem ze tak sie przyjelo aby mozna bylo pierwiastkowanie uznac za dzialanie/odwzorowanie? bo na wikipedii jest, ze taki pierwiastek nieujemny z liczby nieujemnej to pierwiastek arytmetyczny, ale taka liczba ma jeszcze kilka innych pierwiastkow rzeczywistych takich jak wlasnie -3, w przypadku \(\displaystyle{ \sqrt{9}}\)?

Bo przeciez z definicji pierwiastka: "Pierwiastkiem z liczby x stopnia n nazywa się taką liczbę r, która podniesiona do n-tej potęgi jest równa x; innymi słowy jest to dowolna liczba r spełniająca równość

rn = x. ". A wiec i -3 wg tej definicji jest pierwiastkiem liczby 9

[szw1710]

W tym drugim sensie \(\displaystyle{ \sqrt{9}}\) to rozwiązanie równania \(\displaystyle{ x^2=9.}\) Tak traktuje się np. pierwiastki zespolone. Np. \(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}\in\{1,-1,i,-i\}}\) i są to cztery rozwiązania równania \(\displaystyle{ z^2=1.}\) Rzeczywiste to oczywiście tylko \(\displaystyle{ \pm 1.}\)