[Analiza] Kilka zadań dot. granic
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
[Analiza] Kilka zadań dot. granic
Jako, że granice ciągów i funkcji względnie rzadko można spotkać w Kółku postanowiłem umieścić kilka zadań z nimi związanych.
1. Wyznaczyć podane granice.
a) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1^p+2^p+3^p+\ldots+n^p}{n^{p+1}}}\)
dla \(\displaystyle{ p\in\mathbb{N}_+}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n} {n \choose k}}}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a+ \sqrt{a} + \sqrt[3]{a} +\ldots+ \sqrt[n]{a} -n}{\ln n}}\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{k=0}^{n} \frac{(k+1)(k+2) \cdot \ldots \cdot (k+p)}{n^{p+1}}}\)
dla \(\displaystyle{ p\in\mathbb{N}_+}\)
e) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+ \sqrt[2^2]{2!}+ \sqrt[3^2]{3!} +\ldots+ \sqrt[n^2]{n!} }{n}}\)
2. Rozważmy ciąg dodatnich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (a_n)_{n \ge 1}}\) takich że \(\displaystyle{ a_{n+1}- \frac{1}{a_{n+1}}=a_{n}+ \frac{1}{a_{n}}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\).
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k}}}\)
3. Rozważmy ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n \ge 1}}\) spełniający warunki \(\displaystyle{ a_0=2}\) i \(\displaystyle{ a_{n-1}-a_{n}= \frac{n}{(n+1)!}}\) Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \left( n+1 \right) !\ln a_n \right)}\)
4. Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)= \begin{cases} \left\lfloor x\right\rfloor , \;\; \mbox{ dla } x \in \mathbb{Q} \\ x , \;\; \mbox{ dla } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}}\) Znaleźć wszystkie \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\) dla których istnieje \(\displaystyle{ \lim_{x \to a } f(x)}\)
5. Niech \(\displaystyle{ a>b>0}\) i \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}}\)
a) Udowodnić, że istnieją \(\displaystyle{ \left( x_n \right) _{n \ge 1}, \left( y_n \right) _{n \ge 1}\in \mathbb{R}}\) takie, że \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\b&a\end{bmatrix}^n=x_nA+y_nB}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\)
b) Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{x_n}{y_n}}\)
6. Rozważmy ciąg liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \left( x_n \right) _{n \ge 1}}\) taki, że \(\displaystyle{ x_n}\) jest rzeczywistym rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^3+nx-n=0,\ n\in\mathbb{N}_+}\). Udowodnić, że dany ciąg jest zbieżny i policzyć jego granicę.
7. Zbadać zbieżność ciągu spełniającego warunek \(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{x_n+a}{x_n+1} , \ n \ge 1, \ x_1 \ge 0,\ a>0}\)
8. Weźmy ciąg liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \left( x_n \right) _{n \ge 1}}\) taki, że \(\displaystyle{ x_1\in (0,1)}\) i dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego zachodzi \(\displaystyle{ x_{n+1}=x_{n}^{2}-x_n+1}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( x_1x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)}\)
1. Wyznaczyć podane granice.
a) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1^p+2^p+3^p+\ldots+n^p}{n^{p+1}}}\)
dla \(\displaystyle{ p\in\mathbb{N}_+}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n} {n \choose k}}}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a+ \sqrt{a} + \sqrt[3]{a} +\ldots+ \sqrt[n]{a} -n}{\ln n}}\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{k=0}^{n} \frac{(k+1)(k+2) \cdot \ldots \cdot (k+p)}{n^{p+1}}}\)
dla \(\displaystyle{ p\in\mathbb{N}_+}\)
e) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+ \sqrt[2^2]{2!}+ \sqrt[3^2]{3!} +\ldots+ \sqrt[n^2]{n!} }{n}}\)
2. Rozważmy ciąg dodatnich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (a_n)_{n \ge 1}}\) takich że \(\displaystyle{ a_{n+1}- \frac{1}{a_{n+1}}=a_{n}+ \frac{1}{a_{n}}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\).
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k}}}\)
3. Rozważmy ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n \ge 1}}\) spełniający warunki \(\displaystyle{ a_0=2}\) i \(\displaystyle{ a_{n-1}-a_{n}= \frac{n}{(n+1)!}}\) Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \left( n+1 \right) !\ln a_n \right)}\)
4. Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)= \begin{cases} \left\lfloor x\right\rfloor , \;\; \mbox{ dla } x \in \mathbb{Q} \\ x , \;\; \mbox{ dla } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}}\) Znaleźć wszystkie \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\) dla których istnieje \(\displaystyle{ \lim_{x \to a } f(x)}\)
5. Niech \(\displaystyle{ a>b>0}\) i \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}}\)
a) Udowodnić, że istnieją \(\displaystyle{ \left( x_n \right) _{n \ge 1}, \left( y_n \right) _{n \ge 1}\in \mathbb{R}}\) takie, że \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\b&a\end{bmatrix}^n=x_nA+y_nB}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\)
b) Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{x_n}{y_n}}\)
6. Rozważmy ciąg liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \left( x_n \right) _{n \ge 1}}\) taki, że \(\displaystyle{ x_n}\) jest rzeczywistym rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^3+nx-n=0,\ n\in\mathbb{N}_+}\). Udowodnić, że dany ciąg jest zbieżny i policzyć jego granicę.
7. Zbadać zbieżność ciągu spełniającego warunek \(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{x_n+a}{x_n+1} , \ n \ge 1, \ x_1 \ge 0,\ a>0}\)
8. Weźmy ciąg liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \left( x_n \right) _{n \ge 1}}\) taki, że \(\displaystyle{ x_1\in (0,1)}\) i dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego zachodzi \(\displaystyle{ x_{n+1}=x_{n}^{2}-x_n+1}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( x_1x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)}\)
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy