Rzut wektora z przestrzeni R4 na R3

[novaline]

Witam.
Oto treść zadania:
W przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ R ^{4}}\) zadany jest wektor \(\displaystyle{ u=(1,2,3,4) ^{T}}\). Znajdź jego rzut prostopadły na trójwymiarową przestrzeń o równianiu \(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4} = 0}\). Przyjmij standardowy iloczyn skalarny.

Moje pytania:
1. Czy ta przestrzeń \(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4} = 0}\) jest przestrzenią wielomianową, czy poszczególne \(\displaystyle{ x}\) mam traktować jako wektory? Nie wiem jaką bazę mam przyjąć.
2. Czy szukanie rzutu z \(\displaystyle{ R ^{4}}\) na \(\displaystyle{ R ^{3}}\) różni się czymś od szukania w przestrzeniach tego samych wymiaru?

[MarcinSzydlowski]

1. Nie. Przestrzeń \(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4} = 0}\) jest trójwymiarową podprzestrzenią zawartą w \(\displaystyle{ R ^{4}}\).
Zmienne \(\displaystyle{ x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4}\) są to współrzędne wektora z \(\displaystyle{ R ^{4}}\). Najlepiej przyjmij bazę standardową \(\displaystyle{ (0,0,0,1); (0,0,1,0); (0,1,0,0); (1,0,0,0)}\).
2. Rzut wektora na przestrzeń w której on sam się znajduje jest identycznością, czyli otrzymujemy ten sam wektor. Inaczej rzutem wektora czterowymiarowego na przestrzeń czterowymiarową jest ten sam wektor.

[novaline]

Ok. Rozumiem:)-- 23 lut 2012, o 09:03 --mam jeszcze z tym problem...
ta baza standardowa którą mam przyjąć jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\), tak?
to w takim razie jaka będzie baza danej podprzestrzeni trójwymiarowej?
czy będzie ona taka sama, czy mam ją wyliczyć z zadanej równości? jeśli chcę ją wyliczyć to wychodzi mi coś takiego: \(\displaystyle{ (0,-1,-1,-1), (-1,0,-1,-1), (-1,-1,0,-1), (-1,-1,-1,0)}\).
ale z kolei jeśli ma to być baza przestrzeni trójwymiarowej to czemu wektory mają 4 współrzędne?

Proszę o pomoc.