interpretacja treści i wartość oczekiwana

[kuba746]

\(\displaystyle{ U,\Omega}\) - zmienne losowe niezależne o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0,1] \times [0,1]}\)
Według mnie oznacza to że U ma rozkład jednostajny w kwadracie jednostkowym, ale jak w takim wypadku obliczyć np. \(\displaystyle{ E}\)?
\(\displaystyle{ f(u)= \begin{cases} 1 \ u \in [0,1]\times [0,1] \\ 0 \ w.i.p \end{cases} \\ E=\int _K uf(u)du}\)
gdzie \(\displaystyle{ K=[0,1]\times [0,1]}\)
W jaki sposób obliczyć tą całkę?

Jeśli jednak interpretujemy wektor losowy \(\displaystyle{ (U,\Omega)}\) w którym \(\displaystyle{ U\sim [0,1] \ i \ \Omega \sim [0,1]}\) to nie mam problemu z policzeniem czegokolwiek

[Kartezjusz]

Używamy tzw miary produktowej.Wówczas dowodzi się,że jeżeli zmienne są niezależne,to wartość oczekiwana iloczynu to iloczyn wartości oczekiwanych

[kuba746]

może nie rozumiem do końca ale ta własność byłaby przydatna do policzenia \(\displaystyle{ E[U\Omega ]=EE[\Omega ]}\)
a ja mam:

\(\displaystyle{ U,\Omega}\) - zmienne losowe niezależne o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0,1] \times [0,1]}\)

i co z tej treści wynika tzn. czy \(\displaystyle{ U \sim [0,1]}\) czy może \(\displaystyle{ U \sim [0,1] \times [0,1]}\)
w drugim przypadku byłoby to tak naprawdę \(\displaystyle{ U=(U_1,U_2)}\) i jak wtedy policzyć \(\displaystyle{ E}\) skoro nie wiem nic o \(\displaystyle{ U_1 \ i \ U_2}\)?

[Kartezjusz]

pokazuje się też,że miara produktowa to iloczyn miar na każdym z elementów produktów...