Cześć! Jestem kompletnie zielony w temacie grup.
Musze sprawdzić czy wzory określają działanie na zbiorze oraz sprawdzić łączność i przemienność.
\(\displaystyle{ n \oplus m = NWD(n,m)}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)
Tak. Jest to działanie na tym zbiorze. Czy łączność można wykazać zapisując:
\(\displaystyle{ NWD(NWD(n,m),k)= NWD(n,m,k)= NWD(n,(NWD(k,m))}\) ?
Przemienność wydaje mi się trywialna.
\(\displaystyle{ x \vee y = max \left\{ x,y\right\}}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
Wydaje mi się, że to jest działanie na tym zbiorze. Czy łączność można sprawdzić w ten sposób:
\(\displaystyle{ max\left\{ x , max \left\{ y, z\right\} \right\}= max \left\{ x, {y \vee z\right\} = x \vee y \vee z}\)
Z drugiej strony robię podobnie.
\(\displaystyle{ x \wedge y = min \left\{ x,y\right\}}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
Tutaj napotkałem większy problem. Czy dobrze myślę, zauważając że w tym przypadku \(\displaystyle{ x = y}\)? Wtedy udowodnienie łączności i przemienności będzie proste. Mógłbym też to zrobić analogicznie do poprzedniego przypadku tylko nie wiem czy dokładnie o to chodzi.
\(\displaystyle{ f \vee g = max \left\{ f,g\right\}, f \wedge g = min \left\{ f,g\right\}}\) na \(\displaystyle{ C\left( \mathbb{R}\right)}\)
Tutaj nie mam zielonego pojęcia jak się za to zabrać.
\(\displaystyle{ f \vee g = max \left\{ f,g\right\}, f \wedge g = min \left\{ f,g\right\}}\) na \(\displaystyle{ C_{1} \left( \left[ 0,1\right] \right)}\) - zbiór wszystkich funkcji o ciągłej pochodnej na \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\)
Również nie wiem jak to zrobić.