Rozłożyć na czynniki nierozkładalne

Kitka1990 · Post autor: **Kitka1990** » 19 lut 2012, o 11:14

Rozłożyć na czynniki nierozkładalne w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}\left[ X\right]}\) wielomian \(\displaystyle{ X^{4}-6X^{2}+3X+2}\)
Trzeba znaleźć pierwiastki: w naszym przypadku to \(\displaystyle{ +1,-1,+2,-2}\) czyli \(\displaystyle{ \left( X-1\right)}\)\(\displaystyle{ \left(X^{3}+X^{2}-5X-2\right)}\)
wtedy \(\displaystyle{ \left( X^{3}+X^{2}-5X-2\right)}\)rozkładamy za pomocą wzoru: \(\displaystyle{ \frac{(x+1)^{4}-1}{x}}\)
wtedy \(\displaystyle{ X^{3}+4X^{2}+6X+4}\) z kryt Eisensteina \(\displaystyle{ p= ?}\)Może gdzieś się pomyliłam... ale czy to tak się robi??

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 lut 2012, o 12:22

2 ma pomóc.

Kitka1990 · Post autor: **Kitka1990** » 19 lut 2012, o 12:51

ale \(\displaystyle{ 2^{2}}\) jest podzielne przez 4

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 lut 2012, o 12:56

Widocznie nie czaję któregoś ,,robaczka" (zapisu).

Kitka1990 · Post autor: **Kitka1990** » 19 lut 2012, o 12:58

To może źle robię... Ty jakbyś to zrobił?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 lut 2012, o 13:00

Napisz dlaczego nie może być podzielne przez 4 - bo raczej czegoś nie kleję (jak już pisałem we wcześniejszym).

Kitka1990 · Post autor: **Kitka1990** » 19 lut 2012, o 13:06

W ostatnim wielomianie jeśli chcę sprawdzić kryt. Eisensteina to \(\displaystyle{ p^{2} \nmid a_{0}}\), więc \(\displaystyle{ 4\nmid 4}\) sprzeczność

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 lut 2012, o 13:14

No skoro tak ma być to moja podpowiedź była nietrafiona - i tyle.

Kitka1990 · Post autor: **Kitka1990** » 19 lut 2012, o 13:16

A umiesz to zadanie zrobić? Może jest inna metoda...

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 lut 2012, o 13:22

Dla mnie (bo tak zrozumiałem zapis) pierwiastki (rzeczywiste) wyjściowego to (1) i (2).

Kitka1990 · Post autor: **Kitka1990** » 19 lut 2012, o 13:26

no tak... iii co dalej???

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 lut 2012, o 13:30

Tak jak robiłaś - podzielić, a pozostały czynnik kwadratowy ,,z delty".

Kitka1990 · Post autor: **Kitka1990** » 19 lut 2012, o 13:33

Jak z delty jak to jest wielomian 3 stopnia??

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 lut 2012, o 13:36

Jak podzielisz przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) a potem przez \(\displaystyle{ (x-2)}\) - to masz drugi stopień.

Kitka1990 · Post autor: **Kitka1990** » 19 lut 2012, o 13:53

Już rozumiem czyli w rozkładzie na czynniki nierozkładalne to zawsze szuka się w wielomianie pierwiastków:)
A w zadaniu zbadać nierozkładalność w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}\left[ x\right]}\) wielomianu \(\displaystyle{ 3x^{4}-12x^{3}+18x^{2}-10x+3}\) też szukamy pierwiastków??
Czy sprawdzamy kryt Eisensteina wielomian nie spełnia wtedy ze wzoru \(\displaystyle{ \frac{\left( x+1\right) ^{5}-1}{x} = x^{4}+5x^{3}+10x^{2}+10x+5}\)nasze \(\displaystyle{ p= 5}\), więc z kryt jest nierozkładalny w\(\displaystyle{ \mathbb{Q}\left[ x\right]}\) a \(\displaystyle{ NWD( 3,-12,18,-10,3)=1}\) z tego wynika, że jest nierozkładalny w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\left[ x\right]}\) ???