LXIII Olimpiada Matematyczna II etap.

[TomciO]

3.:    

Nie będąc przekonanym w prawdziwość swojego rozwiązania nie spisałem, no i fail życia, poprawne rozwiązanie zostało w brudnopisie :X. Ale generalnie tak skrótowo: dowód nie wprost, wybieramy dla każdej liczby spośród tych \(\displaystyle{ m+1}\) liczbę pierwszą niedzielącą pozostałego iloczynu, będzie ich \(\displaystyle{ m+1}\) każda różna, a mamy tylko \(\displaystyle{ m}\) pierwszych sprzeczność :F.

Spoko, nie musisz aż tak bardzo żałować bo rozwiązanie i tak nie jest kompletne dlaczego

Ukryta treść:    

dla każdej spośród tych \(\displaystyle{ m+1}\) liczb da się wybrać dzielącą ją liczbę pierwszą a niedzielącą pozostałych? Da się wybrać liczbę pierwszą tak, żeby potęga, w której dzieli tą ustaloną liczbę była większa niż potęga, w której dzieli iloczyn pozostałych. To też dosyć nietrudno prowadzi do sprzeczności, ale wymaga dopracowania. Rozumowanie indukcyjne też było łatwo przepchnąć

[Dunix]

Są już zadania:


i rozwiązania z I dnia:

[Swistak]

W Warszawie 80%, które pytałem deklaruje 2 zadania, kilka deklaruje 3, bardzo nieliczni mniej niż 2.
Ktoś mi wytłumaczy w czym tkwił problem w zadaniu 2? Mi wydało się najłatwiejsze, a bardzo nieliczni je mają.
1. Zbiorem punktów równoodległych od tych 3 ścian jest DI (prosty fakt)
2. Wysokości są 4 razy większe niż odległości środka ciężkości od tej ściany (fakt na maturę)
3. Jak wysokości są równe to i dane pola są równe (nawet na maturę za łatwe)
??

[bakala12]

Swistak, moje odczucie jest takie że sam widok stereometrii wywołuje u wielu ludzi paniczny strach (a u mnie to już na pewno).

[Panda]

Noo. Jestem zaskoczony, zrobiłem wszystkie trzy, bo wszystkie trzy były IMO takimi łatwiejszymi dwuetapowymi. Ciekawią mnie inne opinie na ten temat, bo wiadomo, że jak się zrobi, to się wydaje proste. Jaki próg po wynikach kolegów szacujecie?

Co do rozwiązań, to mam praktycznie kropka w kropkę wzorcówki, więc nie ma sensu pisać.

A co do stereo, to muszę się zgodzić - chyba w życiu stereo nie zrobiłem, to była moja pierwsza OMowa stereo. Niech żyją analogie między trójkątem a czworościanem, niech żyją Miniaturki Matematyczne

Powodzenia jutro!

[Swistak]

No właśnie żal, że jak dają stereometrię, to musi być 5 razy prostsza od planimetrii.
Ogólnie od moich startów w OMie poziom pierwszych dni drugich etapów monotonicznie maleje. LX OM rly trudne zadania, przy czym jedno to w ogóle wywalone, LXI OM były 2 proste, ale jedno nieźle wyrąbane, rok temu plani była do dłuższego pomyślenia, a w tym roku . I to bynajmniej nie jest spowodowane tym, że ja jestem coraz starszy i coraz lepiej mi idą, ale jak prawie wszyscy deklarują >=2 zadania i więcej niż epsilon 3, no to chyba jednak moja opinia ma jakieś poparcie w faktach.
Btw bardzo ciekawym faktem jest to, że podobno w całej Polsce nie wypełniły kwestionariusza 3 osoby i wszystkie były z mojej klasy xD.

[Vax]

U mnie dzisiaj 1 i 3

Btw bardzo ciekawym faktem jest to, że podobno w całej Polsce nie wypełniły kwestionariusza 3 osoby i wszystkie były z mojej klasy xD.

W naszym okręgu też parę osób miało niewypełniony

[_el_doopa]

Tez sie podziele:

1.

Ukryta treść:    

Sumujac stronami dostaniemy \(\displaystyle{ \sum a^3 = 0}\).
Gdy dwie kolejne liczby sa tego samego znaku, to wszystkie sa tego samego znaku i w zwiazku z poprzednia rownoscia wszystkie sa 0. Zatem jedyna inna mozliwosc to +-+-. Podstawmy
\(\displaystyle{ x=a,y=-b,z=c,t=-d}\). Otrzymamy cykliczny uklad postaci \(\displaystyle{ x^3=y+z}\) i mozemy zalozyc ze rozwiazujemy go w liczbach dodatnich. Oznaczajac przez \(\displaystyle{ M,m}\) najwieksza i najmniejsza sposrod liczb dostaniemy \(\displaystyle{ M^3 \leq 2M}\) oraz \(\displaystyle{ m^3 \geq 2m}\)
i stad \(\displaystyle{ 2 \geq M^2 \geq m^2 \geq 2}\) Czyli wszystkie liczby sa rowne \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).
Wydaje sie bardziej zgrabne niz powyzsze

2.

Ukryta treść:    

Oznaczamy: \(\displaystyle{ M}\) to srodek ciezkosci. Rzut punktu \(\displaystyle{ Y}\) na płaszczyznę przeciwległą do punktow \(\displaystyle{ A,B,C}\) to odpowiednio \(\displaystyle{ Y_a,Y_b,Y_c}\).
W dużym skrócie: \(\displaystyle{ DM}\) to miejsce geometryczne takich punktow \(\displaystyle{ X}\),ze
\(\displaystyle{ \frac{XX_a}{AA_a} = \frac{XX_b}{BB_b} = \frac{XX_c}{CC_c}}\). Co można łatwo dowieść
nadając tę samą masę punktom \(\displaystyle{ A,B,C}\) oraz pewną masę punktowi \(\displaystyle{ D}\) i badając
środek masy. Mając to spostrzeżenie wystarczy badać stosunki objętości.

3.

Ukryta treść:    

Patrząc na wykładniki w rozkładzie na czynniki pierwsze, zadanie można nieco uogólnić i przeformułować do zadania o \(\displaystyle{ m+1}\), \(\displaystyle{ m}\) -tkach liczb naturalnych.To zadanie poddaje się brutalnej indukcji.

Życzę powodzenia jutro wszystkim olimpijczykom

[Swistak]

Kurczę, czyli jednak z tymi 3 osobami w Polsce to plota

-- 17 lutego 2012, 19:19 --

A 1 może też napiszę, bo robię dość trickowo i nie mam żadnych przypadków.

zad. 1:    

Niech c będzie największa z tych liczb co do modułu. Mamy zatem \(\displaystyle{ 0<b^3+c^3 = a-c \leq 0}\) skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ a=c=-b}\) no i stąd do końca bardzo blisko.

[kammeleon18]

W Warszawie 80%, które pytałem deklaruje 2 zadania, kilka deklaruje 3, bardzo nieliczni mniej niż 2.

Ludzie zawsze deklarują 2 zadania każdego dnia, a potem wielkie zdziwienie, że nie ma ich na finale...

Ktoś mi wytłumaczy w czym tkwił problem w zadaniu 2? Mi wydało się najłatwiejsze, a bardzo nieliczni je mają.

Przyznam szczerze, że ja też je zrobiłem jako pierwsze:P

1. Zbiorem punktów równoodległych od tych 3 ścian jest DI (prosty fakt)
2. Wysokości są 4 razy większe niż odległości środka ciężkości od tej ściany (fakt na maturę)

Po pierwsze te fakty są łatwe do udowodnienia, ale trzeba na nie WPAŚĆ. A wymyślenie czegoś co jest proste do udowodnienia, wcale nie musi być proste. Wiem, że przerobiłeś dużo zadanek i zapewne z każdego z tych faktów nieraz korzystałeś, ale jak ktoś tego nie widział, to się nie dziw, że nie wymyślił.
No i ten fakt 2. na maturę się nie nadaje, pewnie mało który maturzysta wie w jakim stosunku się środkowe przecinają w trójkącie, a co dopiero w czworościanie...

[kamil13151]

Swistak, a nie przypadkiem?

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ c \ge a,b,d}\), także \(\displaystyle{ 0 \ge b^3+c^3 = a-c \leq 0}\)

[ElEski]

Ocena trudności: 1- średnio-łatwe, 2-średnie, 3-łatwe, już pomijając to, że drugie zajęło mi bardzo dużo czasu, ale jakoś się skupić nie mogłem .

2 i 3 mam na 99% tak samo jak 99% osób, które zrobiły, a pierwsze tutaj zamieszczę

Ukryta treść:    

odejmujemy trzecie równanie od pierwszego i mamy
\(\displaystyle{ (a-c)(a^{2}+ac+b^{2}+1)=d-b}\)
Teraz odejmujemy drugie od czwartego i mamy
\(\displaystyle{ (d-b)(d^{2}+bd+b{2}+1)=c-a}\) i teraz podstawiamy w miejsce \(\displaystyle{ d-b, (a-c)(a^{2}+ac+b^{2}+1)}\) i mamy:
\(\displaystyle{ (a-c)((a^{2}+ac+b^{2}+1)(d^{2}+bd+b{2}+1)+1)=0}\), stąd szybko, że \(\displaystyle{ a=c}\), tak samo \(\displaystyle{ b=d}\) i potem prędko już bardzo. Rozwiązania są \(\displaystyle{ 3}\).

A tak co do zadania 2, to można było sobie środek ciężkości czworościanu zastąpić środkiem cieżkości podstawy ABC i wtedy wykazywać, że jak jakiś punkt X leży w tej samej odległości od płaszczyzn ścian bocznych, to w tej samej odległości od nich leżą punkty prostej XD i tylko one. Ja to zrobiłem tak, przyjmując, że środek ciezkości ABC to P, a środek sfery to O, że zakładam, że prosta DO jest różna niż PO i potem dochodzę do sprzeczności poprzez znalezienie dwóch różnych środków sfery wpisanej. (punkt P również leży w równej odległości od płaszczyzn ścian bocznych, żeby nie było ) A żeby udowodnić, że środek sfery, środek ciężkości i D są współliniowe tylko wtedy, kiedy tamte jakieś pola są równe to już oczywiste było.

[Prastaruszek]

Cóż, nie było zadania banalnego, więc myślę że próg się nie podniesie (w tamtym roku tez było gadanie jakie to banalne, próg powyżej 36 pktów etc.). Oczywiście jutro też jest dzień i może coś się zmienić.

[andriej]

Próg chyba nie będzie niższy niż 18 - obstawiałbym 18-19 -zależy co jutro dostaniemy.

[tkrass]

Rok temu też wszyscy mówili, że ale te zadania były banalne i że ale wysoki będzie próg, a wszyscy wiemy, jak się skończyło.

PS: czworościan istotnie wygląda maturalnie jak już się go skmini, ale zajął mi trochę czasu... Pewnie głównie dlatego, że nie miałem zielonego pojęcia jakie własności ma środek ciężkości czworościanu.

Właśnie zobaczyłem, że mój post jest podobny do posta Prastaruszka, ale nie przeczytałem go wcześniej, więc sorry