Witam!
Jestem w trakcie przygotowan do egzaminu i jedno z zadan polega na obliczeniu strumienia przechodzącego przez powierzchnie. Za pomocą twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa zadanie zredukowało mi się do obliczenia następującej całki:
\(\displaystyle{ \int_{V}^{}x^{2}+y^{2}+z^{2} dv}\)
Gdzie V jest objetością określoną równaniami:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 9 \\ x \le 0 \end{cases}}\)
Niestety nie końca rozumiem na jakiej zasadzie oblicza się takie całki, nie do końca ogarniam zamiane współrzędnych na biegunowe i generalnie byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś mi krok po kroku przedstawił rozumowanie i postępowanie przy obliczaniu tej calki. Nie chodzi mi o wynik, ale o to by zwyczajnie nauczyć sie liczyć takie całki... ; ) Z góry dziękuje za pomoc ; )
Obliczyć całke po objętości
-
Chromosom
- Moderator
- Posty: 10356
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1272 razy
Obliczyć całke po objętości
Zakładam, że znasz zależności opisujące zamianę zmiennych (układów współrzędnych) w całce potrójnej, jeśli nie wiesz, na czym to polega, pytaj.
mamy do obliczenia całkę
\(\displaystyle{ I=\iiint\limits_Vx^2+y^2+z^2dxdydz}\)
wobec symetrii figury względem początku układu współrzędnych, przy dodatkowych warunkach \(\displaystyle{ y\ge0,z\ge0}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}I=\iiint\limits_Vx^2+y^2+z^2dxdydz}\)
stosujemy tutaj zamianę współrzędnych na sferyczne (nie biegunowe)
\(\displaystyle{ x=r\sin\varphi\cos\omega}\)
\(\displaystyle{ y=r\sin\varphi\sin\omega}\)
\(\displaystyle{ z=r\cos\varphi}\)
jakobian wynosi \(\displaystyle{ r^2\sin\varphi}\), wobec tego całka przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \iiint\limits_{\Delta}(r^2\sin^2\varphi\cos^2\omega+r^2\sin^2\varphi\sin^2\omega+r^2\cos^2\omega )r^2\sin\varphi d\varphi d\omega dr=\iiint\limits_{\Delta}r^4\sin\varphi d\varphi d\omega dr}\)
w obszarze określonym równaniem
\(\displaystyle{ r^2\sin^2\varphi\cos^2\omega+r^2\sin^2\varphi\sin^2\omega+r^2\cos^2\omega=9}\)
co przechodzi w
\(\displaystyle{ r=3}\)
ostatecznie, po zamianie całki na iterowaną, mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}I=\int\limits^{\frac{1}{2}\pi}_0\int\limits^{\frac{1}{2}\pi}_0\int\limits^3_0r^4\sin\varphi drd\varphi d\omega}\)
dokończ
mamy do obliczenia całkę
\(\displaystyle{ I=\iiint\limits_Vx^2+y^2+z^2dxdydz}\)
wobec symetrii figury względem początku układu współrzędnych, przy dodatkowych warunkach \(\displaystyle{ y\ge0,z\ge0}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}I=\iiint\limits_Vx^2+y^2+z^2dxdydz}\)
stosujemy tutaj zamianę współrzędnych na sferyczne (nie biegunowe)
\(\displaystyle{ x=r\sin\varphi\cos\omega}\)
\(\displaystyle{ y=r\sin\varphi\sin\omega}\)
\(\displaystyle{ z=r\cos\varphi}\)
jakobian wynosi \(\displaystyle{ r^2\sin\varphi}\), wobec tego całka przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \iiint\limits_{\Delta}(r^2\sin^2\varphi\cos^2\omega+r^2\sin^2\varphi\sin^2\omega+r^2\cos^2\omega )r^2\sin\varphi d\varphi d\omega dr=\iiint\limits_{\Delta}r^4\sin\varphi d\varphi d\omega dr}\)
w obszarze określonym równaniem
\(\displaystyle{ r^2\sin^2\varphi\cos^2\omega+r^2\sin^2\varphi\sin^2\omega+r^2\cos^2\omega=9}\)
co przechodzi w
\(\displaystyle{ r=3}\)
ostatecznie, po zamianie całki na iterowaną, mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}I=\int\limits^{\frac{1}{2}\pi}_0\int\limits^{\frac{1}{2}\pi}_0\int\limits^3_0r^4\sin\varphi drd\varphi d\omega}\)
dokończ
-
Sajkou
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 27 sty 2009, o 20:17
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 1 raz
Obliczyć całke po objętości
Dokończenie tego nie jest specjalnie trudne (bedzie smiech jak sie pomyle ; ) ) wiec dokończe ( i będę bardzo wdzięczny za sprawdzenie) a potem jeszcze zapytam o kilka szczegółów ; )
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}I= \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{3}r^{4}sin\varphi \mbox{d}r \mbox{d}\varphi \mbox{d}\omega =\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ \frac{r^{5}sin\varphi}{5}\right] ^{3} _{0}\mbox{d}\varphi \mbox{d}\omega =\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{243sin\varphi}{5}\mbox{d}\varphi \mbox{d}\omega =\frac{243}{5}\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \left[ -cos\varphi \right] ^{ \frac{\pi}{2} } _{0}\mbox{d}\omega =\frac{243}{5}\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }\mbox{d}\omega =\frac{243}{5} \left[ \omega \right] ^{\frac{\pi}{2}} _{0} =\frac{243\pi}{10}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ I=\frac{486\pi}{5}}\)
A teraz jesli chodzi o współrzędne cylidryczne, nie bardzo wiem na jakiej zasadzie się zmienia układ. Jakobian i wzór znalazłem w Żakowskim, Kołodzieju, ale chciałbym zebyś sprawdził czy dobrze rozumuje:
\(\displaystyle{ x=r\sin\varphi\cos\omega}\)
\(\displaystyle{ y=r\sin\varphi\sin\omega}\)
\(\displaystyle{ z=r\cos\varphi}\)
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc} \frac{ \partial x }{ \partial r } & \frac{ \partial x }{ \partial \varphi } & \frac{ \partial x }{ \partial \omega } \\ \frac{ \partial y }{ \partial r } & \frac{ \partial y }{ \partial \varphi } & \frac{ \partial y}{ \partial \omega } \\ \frac{ \partial z }{ \partial r } & \frac{ \partial z }{ \partial \varphi } & \frac{ \partial z}{ \partial \omega } \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}sin\varphi\ cos\omega &rcos\varphi\ cos\omega&-rsin\varphi\sin\omega \\ sin\varphi\sin\omega & rcos\varphi\sin\omega & rsin\varphi\cos\omega\\ cos\varphi & -rsin\varphi & 0 \end{array}\right|}\)
Próbowałem obliczyć ten wyznacznik ale wychodzi mi dość skomplikowana suma iloczynów funkcji trygonometrycznych których nie potrafie zredukowac... (pewnie gdzieś trzeba użyć 1 trygonometrycznej, ale jest dość późno i chyba zajme się tym rano) Ale zakładając ze obliczyłem i wyszło mi tak jak Tobie, teraz wystarczy podstawić do wzoru:
\(\displaystyle{ \int\int\int_{\Delta} f( x(r,\varphi\,\omega),y(r,\varphi\,\omega),z(r,\varphi\,\omega)) \left|J \right| \mbox{d}r \mbox{d}\varphi \mbox{d}\omega}\)
Niby proste, ale nie bardzo łapie na jakiej podstawie wyznaczasie granice całeki interowanej. Przepraszam, że trzeba mi tłumaczyć jak dziecku ale... ; )
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}I= \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{3}r^{4}sin\varphi \mbox{d}r \mbox{d}\varphi \mbox{d}\omega =\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ \frac{r^{5}sin\varphi}{5}\right] ^{3} _{0}\mbox{d}\varphi \mbox{d}\omega =\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{243sin\varphi}{5}\mbox{d}\varphi \mbox{d}\omega =\frac{243}{5}\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \left[ -cos\varphi \right] ^{ \frac{\pi}{2} } _{0}\mbox{d}\omega =\frac{243}{5}\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }\mbox{d}\omega =\frac{243}{5} \left[ \omega \right] ^{\frac{\pi}{2}} _{0} =\frac{243\pi}{10}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ I=\frac{486\pi}{5}}\)
A teraz jesli chodzi o współrzędne cylidryczne, nie bardzo wiem na jakiej zasadzie się zmienia układ. Jakobian i wzór znalazłem w Żakowskim, Kołodzieju, ale chciałbym zebyś sprawdził czy dobrze rozumuje:
\(\displaystyle{ x=r\sin\varphi\cos\omega}\)
\(\displaystyle{ y=r\sin\varphi\sin\omega}\)
\(\displaystyle{ z=r\cos\varphi}\)
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc} \frac{ \partial x }{ \partial r } & \frac{ \partial x }{ \partial \varphi } & \frac{ \partial x }{ \partial \omega } \\ \frac{ \partial y }{ \partial r } & \frac{ \partial y }{ \partial \varphi } & \frac{ \partial y}{ \partial \omega } \\ \frac{ \partial z }{ \partial r } & \frac{ \partial z }{ \partial \varphi } & \frac{ \partial z}{ \partial \omega } \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}sin\varphi\ cos\omega &rcos\varphi\ cos\omega&-rsin\varphi\sin\omega \\ sin\varphi\sin\omega & rcos\varphi\sin\omega & rsin\varphi\cos\omega\\ cos\varphi & -rsin\varphi & 0 \end{array}\right|}\)
Próbowałem obliczyć ten wyznacznik ale wychodzi mi dość skomplikowana suma iloczynów funkcji trygonometrycznych których nie potrafie zredukowac... (pewnie gdzieś trzeba użyć 1 trygonometrycznej, ale jest dość późno i chyba zajme się tym rano) Ale zakładając ze obliczyłem i wyszło mi tak jak Tobie, teraz wystarczy podstawić do wzoru:
\(\displaystyle{ \int\int\int_{\Delta} f( x(r,\varphi\,\omega),y(r,\varphi\,\omega),z(r,\varphi\,\omega)) \left|J \right| \mbox{d}r \mbox{d}\varphi \mbox{d}\omega}\)
Niby proste, ale nie bardzo łapie na jakiej podstawie wyznaczasie granice całeki interowanej. Przepraszam, że trzeba mi tłumaczyć jak dziecku ale... ; )
-
Chromosom
- Moderator
- Posty: 10356
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1272 razy
Obliczyć całke po objętości
Całkę masz dobrze
Współrzędne, o które pytasz, to współrzędne sferyczne, cylindryczne wyglądają tak:
\(\displaystyle{ x=r\cos\varphi\\
y=r\sin\varphi\\
z=z}\).
Jakobian przekształcenia na współrzędne sferyczne obliczamy następująco:
\(\displaystyle{ (r\cos\varphi\cos\omega)(r\sin\varphi\cos\omega)(\cos\varphi)+(-r\sin\varphi\sin\omega)(\sin\varphi\sin\omega)(-r\sin\varphi)-(-r\sin\varphi\sin\omega)(r\cos\varphi\sin\omega)(\cos\varphi)-(\sin\varphi\cos\omega)(r\sin\varphi\cos\omega)(-r\sin\varphi)=r^2\sin\varphi(\cos^2\varphi\cos^2\omega+\sin^2\varphi\sin^2\omega+\sin^2\omega\cos^2\varphi+\sin^2\varphi\cos^2\omega)=r^2\sin\varphi(\cos^2\varphi(\sin^2\omega+\cos^2\omega)+\sin^2\varphi(\sin^2\omega+\cos^2\omega))=r^2\sin\varphi(sin^2\varphi+\cos^2\varphi)=r^2\sin\varphi}\)
Granice całek iterowanych wyznaczamy w ten sposób (posłużę się przykładem całki potrójnej)
jeśli obszar V ograniczony jest powierzchniami o równaniach \(\displaystyle{ z=\alpha(x,y),z=\beta(x,y)}\), oraz obszar D ograniczony jest równaniami \(\displaystyle{ y=\gamma(x),y=\delta(x),x=a,x=b}\), zachodzi
\(\displaystyle{ \iiint\limits_Vf(x,y,z)d\sigma=\iint\limits_D\int\limits_{\beta(x,y)}^{\alpha(x,y)}f(x,y,z)dzd\sigma_1=\int\limits_a^b\int\limits^{\gamma(x)}_{\delta(x)}\int\limits_{\beta(x,y)}^{\alpha(x,y)}f(x,y,z)dzdydx}\)
jeśli funkcja podcałkowa to 1, całka potrójna jest objętością bryły ograniczonej danymi powierzchniami. Przykładowo, w przypadku bryły określonej równaniami
\(\displaystyle{ R^2=x^2+y^2,z=0,z=h,y=0,x=0}\)
dobrze jest zamienić współrzędne na walcowe, wtedy \(\displaystyle{ |J|=r,r=(0,R),\varphi=(0,\frac{1}{2}\pi)}\), całka iterowana wygląda w ten sposób:
\(\displaystyle{ \iiint\limits_Vd\sigma=\int\limits^{\frac{1}{2}\pi}_{0}\int\limits^R_0\int\limits^H_0rdzdrd\varphi}\)
podobnie postępujesz w innych przypadkach
Współrzędne, o które pytasz, to współrzędne sferyczne, cylindryczne wyglądają tak:
\(\displaystyle{ x=r\cos\varphi\\
y=r\sin\varphi\\
z=z}\).
Jakobian przekształcenia na współrzędne sferyczne obliczamy następująco:
\(\displaystyle{ (r\cos\varphi\cos\omega)(r\sin\varphi\cos\omega)(\cos\varphi)+(-r\sin\varphi\sin\omega)(\sin\varphi\sin\omega)(-r\sin\varphi)-(-r\sin\varphi\sin\omega)(r\cos\varphi\sin\omega)(\cos\varphi)-(\sin\varphi\cos\omega)(r\sin\varphi\cos\omega)(-r\sin\varphi)=r^2\sin\varphi(\cos^2\varphi\cos^2\omega+\sin^2\varphi\sin^2\omega+\sin^2\omega\cos^2\varphi+\sin^2\varphi\cos^2\omega)=r^2\sin\varphi(\cos^2\varphi(\sin^2\omega+\cos^2\omega)+\sin^2\varphi(\sin^2\omega+\cos^2\omega))=r^2\sin\varphi(sin^2\varphi+\cos^2\varphi)=r^2\sin\varphi}\)
Granice całek iterowanych wyznaczamy w ten sposób (posłużę się przykładem całki potrójnej)
jeśli obszar V ograniczony jest powierzchniami o równaniach \(\displaystyle{ z=\alpha(x,y),z=\beta(x,y)}\), oraz obszar D ograniczony jest równaniami \(\displaystyle{ y=\gamma(x),y=\delta(x),x=a,x=b}\), zachodzi
\(\displaystyle{ \iiint\limits_Vf(x,y,z)d\sigma=\iint\limits_D\int\limits_{\beta(x,y)}^{\alpha(x,y)}f(x,y,z)dzd\sigma_1=\int\limits_a^b\int\limits^{\gamma(x)}_{\delta(x)}\int\limits_{\beta(x,y)}^{\alpha(x,y)}f(x,y,z)dzdydx}\)
jeśli funkcja podcałkowa to 1, całka potrójna jest objętością bryły ograniczonej danymi powierzchniami. Przykładowo, w przypadku bryły określonej równaniami
\(\displaystyle{ R^2=x^2+y^2,z=0,z=h,y=0,x=0}\)
dobrze jest zamienić współrzędne na walcowe, wtedy \(\displaystyle{ |J|=r,r=(0,R),\varphi=(0,\frac{1}{2}\pi)}\), całka iterowana wygląda w ten sposób:
\(\displaystyle{ \iiint\limits_Vd\sigma=\int\limits^{\frac{1}{2}\pi}_{0}\int\limits^R_0\int\limits^H_0rdzdrd\varphi}\)
podobnie postępujesz w innych przypadkach
-
Sajkou
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 27 sty 2009, o 20:17
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 1 raz
Obliczyć całke po objętości
Hmm to teraz mam takie zadanie, tak na próbe powiedzmy... ; )
Obliczyć strumień wektora pola \(\displaystyle{ \vec{a}(x,y,z)=[y^{2}+z^{2};x^{2}-y^{2};2z]}\) przez zorientowaną zewnętrznie całkowitą powierzchnie walca: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=1 \wedge z \in <0;2>}\)
Z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa
\(\displaystyle{ \Phi=\int_{S} \vec{a} \mbox{d} \vec{S}= \int_{V} \left( \nabla \cdot \vec{a} \right) \mbox{d}v}\)
Więc:
\(\displaystyle{ \int_{V} -2y+2 \mbox{d}v = 2 \int_{V} \left(1-y \right) \mbox{d}v = I}\)
Zamieniamy współrzędne z układu kartezjańskiego na współrzędne cylindryczne:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=rcos\varphi \\ y=rsin\varphi \\ z=h \end{cases} \wedge \begin{cases} \varphi \in <0; \frac{\pi}{2} > \\ r \in (0;1) \\ h=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ |J|=r}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} I= \int_{ 0 }^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \left( 1-rsin\varphi\right) r \mbox{d}h \mbox{d}r \mbox{d}\varphi = \int_{ 0 }^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \left[ rh-r^{2}hsin\varphi \right]_{0}^{2} \mbox{d}r \mbox{d}\varphi =}\)
\(\displaystyle{ 2\int_{ 0 }^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \left( r-r^{2}sin\varphi \right) \mbox{d}r \mbox{d}\varphi=2\int_{ 0 }^{\frac{\pi}{2}} \left[ \frac{r^{2}}{2}- \frac{r^{3}}{3}sin\varphi \right]_{0}^{1}\mbox{d}\varphi = 2\int_{ 0 }^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3}sin\varphi\right) \mbox{d}\varphi = 2\left[ \frac{\varphi}{2} + \frac{cos\varphi}{3} \right]^{ \frac{\pi}{2} }_{0}=2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3} \right)= \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ I=2 \left(\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} \right) = \pi - \frac{4}{3}}\)
\(\displaystyle{ \Phi=I=\pi - \frac{4}{3}}\)
Jak coś jest źle to prosze ostro zjechać za głupote, bo genialnie to wyłożyłeś za co jestem Ci bardzo wdzięczny ; )
Obliczyć strumień wektora pola \(\displaystyle{ \vec{a}(x,y,z)=[y^{2}+z^{2};x^{2}-y^{2};2z]}\) przez zorientowaną zewnętrznie całkowitą powierzchnie walca: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=1 \wedge z \in <0;2>}\)
Z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa
\(\displaystyle{ \Phi=\int_{S} \vec{a} \mbox{d} \vec{S}= \int_{V} \left( \nabla \cdot \vec{a} \right) \mbox{d}v}\)
Więc:
\(\displaystyle{ \int_{V} -2y+2 \mbox{d}v = 2 \int_{V} \left(1-y \right) \mbox{d}v = I}\)
Zamieniamy współrzędne z układu kartezjańskiego na współrzędne cylindryczne:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=rcos\varphi \\ y=rsin\varphi \\ z=h \end{cases} \wedge \begin{cases} \varphi \in <0; \frac{\pi}{2} > \\ r \in (0;1) \\ h=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ |J|=r}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} I= \int_{ 0 }^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \left( 1-rsin\varphi\right) r \mbox{d}h \mbox{d}r \mbox{d}\varphi = \int_{ 0 }^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \left[ rh-r^{2}hsin\varphi \right]_{0}^{2} \mbox{d}r \mbox{d}\varphi =}\)
\(\displaystyle{ 2\int_{ 0 }^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \left( r-r^{2}sin\varphi \right) \mbox{d}r \mbox{d}\varphi=2\int_{ 0 }^{\frac{\pi}{2}} \left[ \frac{r^{2}}{2}- \frac{r^{3}}{3}sin\varphi \right]_{0}^{1}\mbox{d}\varphi = 2\int_{ 0 }^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3}sin\varphi\right) \mbox{d}\varphi = 2\left[ \frac{\varphi}{2} + \frac{cos\varphi}{3} \right]^{ \frac{\pi}{2} }_{0}=2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3} \right)= \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ I=2 \left(\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} \right) = \pi - \frac{4}{3}}\)
\(\displaystyle{ \Phi=I=\pi - \frac{4}{3}}\)
Jak coś jest źle to prosze ostro zjechać za głupote, bo genialnie to wyłożyłeś za co jestem Ci bardzo wdzięczny ; )
-
Chromosom
- Moderator
- Posty: 10356
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1272 razy
Obliczyć całke po objętości
Drobna uwaga do Twojego zapisu - całkę potrójną w TeX-u zapisujemy w ten sposób
daje to efekt
\(\displaystyle{ \iiint\limits_Vdv}\)
jeśli chodzi o wynik, masz prawie dobrze, bo całka, którą obliczasz to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}I}\) (przy dodatkowych założeniach początkowych \(\displaystyle{ x\ge0,y\ge0}\), wtedy zakres promienia wodzącego to \(\displaystyle{ 0,\frac{\pi}{2}}\)).
Nie ma sprawy - lubię matematykę i lubię pomagać innym
Kod: Zaznacz cały
[tex]iiintlimits_Vdv[/tex]\(\displaystyle{ \iiint\limits_Vdv}\)
jeśli chodzi o wynik, masz prawie dobrze, bo całka, którą obliczasz to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}I}\) (przy dodatkowych założeniach początkowych \(\displaystyle{ x\ge0,y\ge0}\), wtedy zakres promienia wodzącego to \(\displaystyle{ 0,\frac{\pi}{2}}\)).
Nie ma sprawy - lubię matematykę i lubię pomagać innym
-
Sajkou
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 27 sty 2009, o 20:17
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 1 raz
Obliczyć całke po objętości
Ok dzieki bardzo jeszcze raz dzieki wielkie, myśle że teraz bedzie juz ok... ; )
Edit:
Mam jeszcze pewną wątpliwość. Czy ta metoda z parametryzacją\(\displaystyle{ \varphi \in <0; \frac{\pi}{2} >}\) i mnożeniu całki razy 4 nie działa tylko dla funkcji symetrycznych względem punktu (0,0)? Dla całki z \(\displaystyle{ \varphi \in <0;2\pi>}\)otrzymuje inny wynik ; )
Edit:
Mam jeszcze pewną wątpliwość. Czy ta metoda z parametryzacją\(\displaystyle{ \varphi \in <0; \frac{\pi}{2} >}\) i mnożeniu całki razy 4 nie działa tylko dla funkcji symetrycznych względem punktu (0,0)? Dla całki z \(\displaystyle{ \varphi \in <0;2\pi>}\)otrzymuje inny wynik ; )
-
Chromosom
- Moderator
- Posty: 10356
- Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 127 razy
- Pomógł: 1272 razy
Obliczyć całke po objętości
Jeśli figura jest symetryczna względem jednej płaszczyzny, np. Oxy, przy dodatkowym założeniu \(\displaystyle{ z\ge0}\) obliczona całka wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}I}\). Jeśli figura jest symetryczna względem dwóch płaszczyzn, np. Oxz, Oyz, przy dodatkowym założeniu całka wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}I}\). Ponieważ w założeniach \(\displaystyle{ z=<0,2>}\) oraz \(\displaystyle{ x^2+y^2=R^2}\), figura jest symetryczna względem Oxz oraz Oyz, obliczona całka wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}I}\) przy zakresie promienia wodzącego \(\displaystyle{ \varphi=<0,\frac{1}{2}\pi}\).