Obliczanie całki metodą Simpsona.

[Slay]

Witam,

uczę się do egzaminu i proszę jakiegoś życzliwego człowieka o sprawdzenie czy dobrze rozwiązałem poniższe zadanie i wskazanie ew. błędów:

1. Wyznaczyć metodą Simpsona przybliżoną wartość całki, dla \(\displaystyle{ n=2}\) :

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{6} } \sin 2x dx}\)

\(\displaystyle{ h= \frac{b-a}{2n} = \frac{ \frac{ \pi }{6} }{4} = \frac{ \pi }{24}}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|c|} \hline 0 & \pi /24 & \pi /3 & & \pi /3 & 3\pi /8 & \pi /6 \\ \hline 0 & 0.26 & 0.03 & & 0.03 & 0.04 & 0.01 \\ \hline \end{tabular}}\)

po podstawieniu do wzoru:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{6} } \sin 2x dx = \int_{0}^{ \frac{ \pi }{3} } \sin 2x dx + \int_{ \frac{ \pi }{3} }^{ \frac{ \pi }{6} } \sin 2x dx = \\ = \frac{1}{3} \cdot \frac{ \pi }{24} \cdot ( 0+4 \cdot 0.26+0.03)+ \frac{1}{3} \cdot \frac{ \pi }{24} \cdot ( 0.03 + 4 \cdot 0.04+0.01) = \int_{0}^{ \frac{ \pi }{6} } \sin 2x dx= \\ = \frac{ \pi }{72} \cdot (1.07+0.2) = \frac{1.27 \pi }{72}}\)

[maciejsporysz]

Źle. Przemyśl raz jeszcze.

[Slay]

A konkretniej w którym miejscu? Skoro proszę o pomoc innych to sam już to nieraz przemyślałem i prosiłbym raczej o wskazanie gdzie mój tok jest zły.

[maciejsporysz]

Po pierwsze skąd rozbicie na takie dwie całki??

[Slay]

W treści zadania mam podane, że przedział ma być podzielony na n=2. części, stąd \(\displaystyle{ [0; \frac{ \pi }{6} ]}\) podzielone na 2 części daje: \(\displaystyle{ [0; \frac{ \pi }{3} ] \cup [\frac{ \pi }{3} ; \frac{\pi}{6} ].}\)

[maciejsporysz]

Sześć podzielone przez dwa daje trzy, ale \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\) podzielone przez dwa nie daje \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\)

[Slay]

Dziękuję, mój błąd nieuwagi.

W takim razie, po poprawnym podzieleniu przedziału czy tak wykonane zad. jest dobrze?

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{6} } \sin 2x dx}\)

\(\displaystyle{ h= \frac{b-a}{2n} = \frac{ \frac{ \pi }{6} }{4} = \frac{ \pi }{24}}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|c|} \hline 0 & \pi /24 & \pi /12 & & \pi /12 & \pi /8 & \pi /6 \\ \hline 0 & 4.57 & 9.14 & & 9.14 & 0.01 & 0.02 \\ \hline \end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{6} } \sin 2x dx = \int_{0}^{ \frac{ \pi }{12} } \sin 2x dx + \int_{ \frac{ \pi }{12} }^{ \frac{ \pi }{6} } \sin 2x dx = \\ = \frac{1}{3} \cdot \frac{ \pi }{24} \cdot ( 0+4 \cdot 4.57+9.14)+ \frac{1}{3} \cdot \frac{ \pi }{24} \cdot ( 9.14 + 4 \cdot 0.01+0.02) = \int_{0}^{ \frac{ \pi }{6} } \sin 2x dx= \\ = \frac{ \pi }{72} \cdot (27.42+9.2) = \frac{36.62 \pi }{72}}\)

[maciejsporysz]

Jedne błąd poprawiony. A teraz wartości podwojonego sinusa. Sprawdź, czy dobrze są policzone ???

[Slay]

Mam nadzieję, że teraz już się nie pomyliłem.

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|c|} \hline 0 & \pi /24 & \pi /12 & & \pi /12 & \pi /8 & \pi /6 \\ \hline 0 & 4.57 & 9.14 & & 9.14 & 13.7 & 18.28 \\ \hline \end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{6} } \sin 2x dx = \int_{0}^{ \frac{ \pi }{12} } \sin 2x dx + \int_{ \frac{ \pi }{12} }^{ \frac{ \pi }{6} } \sin 2x dx = \\ = \frac{1}{3} \cdot \frac{ \pi }{24} \cdot ( 0+4 \cdot 4.57+9.14)+ \frac{1}{3} \cdot \frac{ \pi }{24} \cdot ( 9.14 + 4 \cdot 13.7+18.28) = \int_{0}^{ \frac{ \pi }{6} } \sin 2x dx= \\ = \frac{ \pi }{72} \cdot (27.42+82.22) = \frac{109.64 \pi }{72}}\)

[maciejsporysz]

Czy może się okazać, że wartość sinusa jest 18 ??

[Slay]

Fakt, to przez późną porę mam nadzieję.

W takim razie teraz?

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|c|} \hline 0 & \pi /24 & \pi /12 & & \pi /12 & \pi /8 & \pi /6 \\ \hline 0 & 0.26 & 0.5 & & 0.5 & 0.013 & 0.018 \\ \hline \end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{6} } \sin 2x dx = \int_{0}^{ \frac{ \pi }{12} } \sin 2x dx + \int_{ \frac{ \pi }{12} }^{ \frac{ \pi }{6} } \sin 2x dx = \\ = \frac{1}{3} \cdot \frac{ \pi }{24} \cdot ( 0+4 \cdot 0.26+0.5)+ \frac{1}{3} \cdot \frac{ \pi }{24} \cdot ( 0.5 + 4 \cdot 0.013+0.018) = \int_{0}^{ \frac{ \pi }{6} } \sin 2x dx= \\ = \frac{ \pi }{72} \cdot (1.54+0.57) = \frac{2.11 \pi }{72}}\)