Ciągłość funkcji i wykazanie pewnej własności

[dmjeh]

Witam, nie jestem pewien czy dobry dział, ale mam pare zadanek raczej na wykorzystanie własności Darboux, jednak nie bardzo ogarniam jak to zrobić. Jeżeli byście mi powiedzieli jak powinno wyglądać rozwiązanie takiego zadania to myślę, że całą resztę zrobię, a zadania brzmi tak:

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:\left\langle 0,2\right\rangle \rightarrow R}\) Wiedząc, iż jest ona ciągła wykaż, że istnieją \(\displaystyle{ x_{1} , _{2} \in \left\langle 0,2\right\rangle}\) takie, że \(\displaystyle{ x_{1} - x_{2} = 1}\) i \(\displaystyle{ f(x _{2}) - f(x _{1}) = \frac{1}{2} [f(2) - f(0)]}\)

[AdamL]

Witam, nie jestem pewien czy dobry dział, ale mam pare zadanek raczej na wykorzystanie własności Darboux, jednak nie bardzo ogarniam jak to zrobić. Jeżeli byście mi powiedzieli jak powinno wyglądać rozwiązanie takiego zadania to myślę, że całą resztę zrobię, a zadania brzmi tak:

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:\left\langle 0,2\right\rangle \rightarrow R}\) Wiedząc, iż jest ona ciągła wykaż, że istnieją \(\displaystyle{ x_{1} , _{2} \in \left\langle 0,2\right\rangle}\) takie, że \(\displaystyle{ x_{1} - x_{2} = 1}\) i \(\displaystyle{ f(x _{2}) - f(x _{1}) = \frac{1}{2} [f(2) - f(0)]}\)

Zauwaz, ze \(\displaystyle{ x_{1}=x _{2} +1}\) i teraz szukamy rownosci

\(\displaystyle{ f(x _{2} - f(x _{2}+1) - \frac{1}{2} [f(2) - f(0)] = 0}\) i utworz teraz f-cje pomocnicza i na niej wykaz z wlasnosci darboux co trzeba

[dmjeh]

dzięki za pomoc, ale niestety nadal nie łapie o co chodzi, tzn w tym co póki co napisałeś raczej nie ma niczego do "nierozumienia", ale nie wiem jak miałaby wyglądać ta funkcja pomocnicza, co ona ma na celu ... Jakoś nie ogarniam, serio pierwszy raz widzę taki typ zadania i nie wiem w jaką stronę tu zmierzać.

[AdamL]

dzięki za pomoc, ale niestety nadal nie łapie o co chodzi, tzn w tym co póki co napisałeś raczej nie ma niczego do "nierozumienia", ale nie wiem jak miałaby wyglądać ta funkcja pomocnicza, co ona ma na celu ... Jakoś nie ogarniam, serio pierwszy raz widzę taki typ zadania i nie wiem w jaką stronę tu zmierzać.

Pomagamy sobie - proszę
\(\displaystyle{ g(x _{2} )=f(x _{2} - f(x _{2}+1) - \frac{1}{2} [f(2) - f(0)]}\)
podstaw za x 0 policz wartosc podstaw 1 policz wartosc i wykonaj dzialanie
\(\displaystyle{ g(0)+g(1)}\) powinno dac 0, a teraz wnioskujemy - f ciagla, suma 2 wartosci daje zero, wiec albo obie sa zero - cbdo, albo roznych znakow - cbdo.

Napisz czy rozumiesz

[dmjeh]

aż mi głupio, ale albo mam zły dzień albo jestem jakiś głupi bo po tym dodawaniu \(\displaystyle{ g(0) + g(1)}\) wcale nie zostaje mi 0.

edit. Dobra już mam zmienne miałem odwrotnie zapisane przez jakiś przypadek i nie wychodziło, już działa i czaję, wielkie dzięki.