LXIII Olimpiada Matematyczna II etap.

[Marcinek665]

Witam,
Zostało już tylko 5 dni, więc pomyślałem, że tym razem to ja będę fajny i założę temat.

Jak tam nastroje? Ja się strasznie stresuje, bo to ostatni start, ale na szczęście jedynym działem, którego nie ogarniam wg. mnie wystarczająco dobrze na okręgowe to kombi na zbiorach i grafach (przyjęcia etc.). Dlatego, gdyby kombi była jakimś niezmiennikiem, tablicą czy kolorowaniem, to bym się bardzo ucieszył

Otwieram dyskusję

[slepy_01]

To może pospekulujmy na temat jakie zadanka będą ?

[Marcinek665]

Mój zestaw marzeń:

1. Prosta kombi na niezmiennik
2. Średnia plani
3. Trudna nierówność
4. Prosta algebra lub teoria liczb
5. Średnia lub prosta plani
6. Trickowy ciąg (ale do zrobienia).

A będzie prawdopodobnie coś takiego:

1. łatwy układ
2. geometria nie dająca się przepałować na kątach czy sinusach w mniej niż 5h
3. kombi nie idąca z niezmienników i Dirichleta
4. stereo na wyobraźnię przestrzenną
5. niejednorodna nierówność przyprawiająca o płacz wszystkich którzy tyle m-cy ćwiczyli Jenseny, Karamaty i Holdery ;_;
6. geometria kombinatoryczna
próg 13pktów

I bedę w... kapeluszu

[bakala12]

Marcinek665, lepiej żeby tak nie było, bo będzie płacz i zgrzytanie zębów.
A mój nastrój całkiem fajnie. Cały czas zachodzę w głowę dlaczego przegapiłem OM w ubiegłym roku, także trochę się stresuje bo to mój pierwszy start (na szczęście nie ostatni )
Ogólnie to liczę na jakiś łatwy układ i planimetrię dającą się spałować na kątach
Aby nie wyjść z 0.

[Luxxar]

Mi się marzy:
1.Prosta kombi(jakaś szachownica , kolorki)
2.Planimetria którą będę w stanie łyknąć (czyli musi być Meeega prosta )
3.Teoria liczb
4.Wielomian , ciąg
5.Stereometria (może być mega ciężka bo i tak pewnie nie doczytam do końca polecenia i będzie zachowana równowaga w zadaniach w geometrii ;d)
6.Nierówność.


Jest tu ktoś z poznańskiego?

[Emce1]

Mój zestaw marzeń:
1. Układ równań/nierówność
2. Prosta planimetria ( prosta tj. najprostsze zadanie z zestawu, najlepiej dająca się spałować w mniej niż 2 godziny :>)
3. Teoria liczb
4. Prosta kombinatoryka na niezmiennik.
5. mega harda stereometria ( na zasadzie poprzednika - i tak jej nie zrobię, a musi być balans w geometrii)
6. Średni ciąg

[Prastaruszek]

Tak w ogóle to o której to jest?
(Ups, pomyliłem odpowiedz z nowy temat)

[AndrzejTheMatematyk]

Trochę inne pytanko: o której zaczyna się olimpiada? :] Na om.edu.pl jakoś nie mogę znaleźć godziny

[JaQb]

Moje typy i w ogóle chyba typy dowolnej innej osoby to jakaś permutacja następujących zadań (coś=random(nierówność, równanie funkcyjne, wielomian)):
1. random(trudna, harda, średnia, robialna, trickowa, łatwa) random(kombi, geometria, plani, teoria liczb, algebra, coś).
2. random(t., h., ś., r, trick., ł. 1) random(k., g., p., t. l., a., c. 1)
3. i dalej - chyba widać algorytm.

Przy czym prawdopodobieństwa są równe; "geometria" może być stereometrią.

@up: 8:40.

[kfas]

Informacje są podane na stronach komitetów okręgowych.
Dla Warszawy odpowiedni cytat brzmi:
"Czas: w oba dni należy stawić się najpóźniej o godzinie 8:40"

w innych okręgach może być inaczej, choć różnice nie są wielkie. Samo rozwiązywanie zadań, to czas mniej więcej 9-14.

[adamm]

Powodzenia wszystkim jutro !

[Vax]

W końcu mi internet zadziałał No to powodzenia wszystkim za 1.5h

[kammeleon18]

1. Rozwiązać w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^3+b=c\\b^3+c=d\\c^3+d=a\\d^3+a=b\end{cases}}\)

2. Udowodnić, że w czworościanie \(\displaystyle{ ABCD}\) wierzchołek \(\displaystyle{ D}\), środek sfery wpisanej oraz środek ciężkości czworościanu leżą na jednej prostej wtedy i tylko wtedy gdy pola trójkątów \(\displaystyle{ ABD}\), \(\displaystyle{ BCD}\) i \(\displaystyle{ CAD}\) są równe.

3. Niech \(\displaystyle{ m, n}\) będą takimi dodatnimi liczbami całkowitymi, że w zbiorze\(\displaystyle{ \lbrace 1, 2, ..., n \rbrace}\) znajduje się dokładnie \(\displaystyle{ m}\) liczb pierwszych. Dowieść, że wśród dowolnych \(\displaystyle{ m+1}\) różnych liczb z tego zbioru można znaleźć liczbę, która jest dzielnikiem iloczynu pozostałych \(\displaystyle{ m}\) liczb.

[adamm]

Moje rozwiązania:

1.:    

\(\displaystyle{ (1)-(3)}\) daje nam \(\displaystyle{ a^3-c^3+a-c+b-d=0}\), \(\displaystyle{ (2)-(4)}\): \(\displaystyle{ b^3-d^3+c-a+b-d=0}\) sumując: \(\displaystyle{ (a-c)((a+\frac{1}{2}c)^2+\frac{3}{4}c^2)+(b-d)((b+\frac{1}{2}d)^2+\frac{3}{4}d^2+2)=0}\), zauważamy, że to co jest w drugich nawiasach jest nieujemne. Zakładamy, że \(\displaystyle{ b>d}\), więc ze względu na to, ze u góry mamy \(\displaystyle{ 0}\), pierwszy czynnik sumy musi być ujemny, stąd \(\displaystyle{ c>a}\); \(\displaystyle{ (2)+(3)}\): \(\displaystyle{ b^3+c^3=a-c<0}\), \(\displaystyle{ (3)+(4)}\): \(\displaystyle{ c^3+d^3=b-d>0}\), stąd \(\displaystyle{ c^3+d^3>c^3+b^3 \iff d^3>b^3}\), sprzeczność z \(\displaystyle{ b>d}\). Analogicznie sypie się przypadek \(\displaystyle{ d>b}\) i \(\displaystyle{ a>c}\), stąd musimy mieć \(\displaystyle{ b=d}\) i \(\displaystyle{ a=c}\), wrzucając do układu po zsumowaniu pierwszych dwóch równań dostajemy \(\displaystyle{ a=-b}\), stąd już łatwo \(\displaystyle{ (a,b,c,d)\in\{(0,0,0,0),(\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{2},-\sqrt{2}),(-\sqrt{2},\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{2})\}}\).

2.:    

Fakt 1. Zbiorem punktów których długości rzutów na \(\displaystyle{ ABD}\), \(\displaystyle{ BCD}\), \(\displaystyle{ ACD}\) są równe jest prosta \(\displaystyle{ DI}\), chyba oczywiste jak nie to łatwo dowodzimy z jednokładności. \(\displaystyle{ I}\)-środek sfery wpisanej, \(\displaystyle{ S}\)-środek ciężkości \(\displaystyle{ ABCD}\), \(\displaystyle{ P}\)-środek ciężkości \(\displaystyle{ ABC}\).
Zacznę od równych pól:
Najpierw szybko dowodzimy, że \(\displaystyle{ [APB]=[APC]=[BCP]=\frac{1}{3}[ABC]}\), stąd \(\displaystyle{ V(ABDP)=V(BCDP)=V(ACDP)}\) (wspólna wysokość i równe pole podstawy), taką samą argumentacją dostajemy \(\displaystyle{ V(ABSP)=V(BCSP)=V(CASP)}\), z tych wniosków \(\displaystyle{ V(ABDS)=V(BCDS)=V(CADS)}\), ale ze względu na równe pola musimy mieć równe wysokości opuszczonej z \(\displaystyle{ S}\), z faktu 1., dostajemy współliniowość \(\displaystyle{ D,I,S}\).
Ze współliniowości:
Jak ostatnio \(\displaystyle{ V(ABDS)=V(BCDS)=V(CADS)}\), z faktu 1. i współliniowości mamy równe długości wysokości opuszczonych z \(\displaystyle{ S}\), stąd i z równości objętości mamy równość pól trójkątów na które rzutujemy.

3.:    

Nie będąc przekonanym w prawdziwość swojego rozwiązania nie spisałem, no i fail życia, poprawne rozwiązanie zostało w brudnopisie :X. Ale generalnie tak skrótowo: dowód nie wprost, wybieramy dla każdej liczby spośród tych \(\displaystyle{ m+1}\) liczbę pierwszą niedzielącą pozostałego iloczynu, będzie ich \(\displaystyle{ m+1}\) każda różna, a mamy tylko \(\displaystyle{ m}\) pierwszych sprzeczność :F.

komentarz:    

zadania dużo mocniejsze od zeszłorocznych, ale jest tez sporo osób z 2-3 zadaniami, zobaczymy co będzie jutro

[kfas]

Trzecie trochę inaczej niż we wzorcówce, a ładnie:

Ukryta treść:    

W zbiorze \(\displaystyle{ m+1}\) liczb istnieją takie, w których \(\displaystyle{ p_1}\) występuje w maksymalnej potędze. Jedną z nich wybieramy i "wyrzucamy do iloczynu".
Następnie z pozostałych m liczb wyrzucamy taką, która ma maksymalny wykładnik \(\displaystyle{ p_2}\).
I tak dalej..
Pozostanie nam jedna liczba, której każdy dzielnik pierwszy występuje w którejś z pozostałych z przynajmniej tym samym wykładnikiem.
Wobec tego ta liczba, która pozostała musi dzielić iloczyn pozostałych.