Funkcje ciągłe

[Molniya]

Witam! Proszę o pomoc z zadaniem:

Wskazać przykład funkcji \(\displaystyle{ f}\) spełniającej dany warunek lub wykazać, że taka funkcja nie istnieje:

\(\displaystyle{ (a) f: (0,1] \longrightarrow [0,1]}\) ciągła i różnowartościowa.
\(\displaystyle{ (b) f: (0,1] \longrightarrow [0,1]}\) ciągła i "na".
\(\displaystyle{ (c) f: (0,1] \longrightarrow [0,1]}\) ciągła, różnowartościowa i "na".
\(\displaystyle{ (d) f: (0,\infty) \longrightarrow \mathbb{R}}\) ciągła, różnowartościowa i "na".

[szw1710]

d) \(\displaystyle{ f(x)=\ln x}\)

b) \(\displaystyle{ f(x)=2\left|x-\frac{1}{2}\right|=|2x-1|}\)

[micholak]

c) Przypuśćmy że istnieje taka funkcja ciągła \(\displaystyle{ f}\)
Oznaczmy
\(\displaystyle{ A_{n} = f \left( \left[ \frac{1}{n},1 \right] \right)}\)
Z ciągłości \(\displaystyle{ f}\), \(\displaystyle{ A_{n}}\) jest domkniętym odcinkiem.
Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest "na" to
\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} = \left[ 0,1 \right]}\)
Stąd \(\displaystyle{ 0 \in A_{k}}\) oraz \(\displaystyle{ 1 \in A_{l}}\), dla pewnych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\)
Bez straty ogólności możemy założyć, że \(\displaystyle{ k \leq l}\),
stąd \(\displaystyle{ A_{k} \subset A_{l}}\) i \(\displaystyle{ 0 \in A_{l}}\),
Zgodnie z wcześniejsza uwagą mamy więc \(\displaystyle{ A_{l} = \left[ 0,1 \right]}\)
Stąd dla dowolnego \(\displaystyle{ y \in \left( 0,\frac{1}{l} \right)}\) istnieje \(\displaystyle{ x \in \left[ \frac{1}{l},1 \right]}\) taki, że
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = f \left( y \right)}\)
sprzeczność z różnowartościowością.
Nie istnieje więc taka funkcja.

[Molniya]

Czy można ten przykład c) zrobić trocha prościej? W tym ja nie bardzo się znam