Udowodnić, że liczby są podzielne przez 3

[Matt2009]

Nie mam pojęcia jak mam się zabrać za takie zadanie:
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ m,n}\) są liczbami całkowitymi i liczba \(\displaystyle{ m ^{2} +n ^{2}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) to liczby \(\displaystyle{ m,n}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\)
Proszę o podpowiedzi,

[bosa_Nike]

Nie wprost, korzystając z faktu, że kwadraty liczb niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\) dają w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) resztę \(\displaystyle{ 1}\).

[Matt2009]

Może być tak?
Dowód: (nie wprost)
Przypuśćmy, że liczby \(\displaystyle{ m,n}\) nie są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), zatem możemy zapisać:
\(\displaystyle{ m=3k+1, n=3k+2}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ (3k+1) ^{2} + (3k+2) ^{2} =12k ^{2} +3+2}\)

Czy wystarczy, że przyjmę \(\displaystyle{ m=3k+1, n=3k+2}\), czy muszę też rozpatrzeć \(\displaystyle{ m=3k+2, n=3k+1}\) oraz \(\displaystyle{ m=3k+2, n=3k+2}\) i \(\displaystyle{ m=3k+1, n=3k+1}\)??

[bosa_Nike]

W tym dowodzie ważny jest fakt, że masz wykazać podzielność obu tych liczb jednocześnie. Dlatego, gdy zaprzeczasz tezie, zakładasz, że co najmniej jedna z liczb nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
Poza tym oznaczenia są niefortunne - zauważ, że u Ciebie \(\displaystyle{ m,n}\) są kolejnymi liczbami, przez co tracisz ogólność.

Spróbuj tak: \(\displaystyle{ m=3t+u,\ n=3s+v}\), gdzie określamy reszty następująco: \(\displaystyle{ -1\le u,v\le 1}\), przy czym co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ u,v}\) nie jest zerem. Teraz oblicz \(\displaystyle{ m^2+n^2}\).

[Matt2009]

\(\displaystyle{ m ^{2} +n ^{2} =3(3t ^{2} +3s ^{2} +2tu+2sv)+u ^{2} + v^{2} \le 3(3t ^{2} +3s ^{2} +2tu+2sv)+2}\) a z tego wynika, że reszta z dzielenia zawiera się w przedziale \(\displaystyle{ (0,2>}\)
Teraz ok? Tyle należało pokazać?
I jeszcze mam takie pytanie:
Zamiast \(\displaystyle{ -1\le u,v\le 1}\) nie może być \(\displaystyle{ -2\le u,v\le 2,}\) bo 2 to też reszta z dzielenia przez 3?

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ -1\le u,v\le 1}\) - Taki wybór jest imho wygodny, bo gwarantuje, że \(\displaystyle{ u^2+v^2}\) nie może przekroczyć trójki. Nie może też być zerem, bo przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ u,v}\) zerem nie jest. Wobec tego liczba \(\displaystyle{ m^2+n^2}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), a więc mamy sprzeczność.

[Matt2009]

Dziękuję za pomoc