najmniejsza i najwieksza wartosc w kuli

[werka9191]

witam, ucze sie wlasnie na egzamin i mam wielki problem w tym zadaniem

znalesc najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji \(\displaystyle{ g(x,y,z)=2x+4y-2z}\)w kuli \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 \le 12}\)

bardzo prosze o pomoc albo o podpowiedz chociaz.

[silvaran]

Szukasz punktów podejrzanych o bycie ekstremum wewnątrz kuli. Różniczkujesz funkcję i sprawdzasz gdzie się zeruje.

[werka9191]

to by bylo tak :

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} =2}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} =4}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial z} =-2}\)

i co dalej jak wartosci sa?

[silvaran]

Czyli nie mamy ekstremum wewnątrz. Szukamy na brzegu teraz. Hm, może będzie łatwiej szukać po zamianie zmiennych na sferyczne.

[werka9191]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=r\cos \phi \cos \psi\\y=r\sin \phi \cos \psi\\z=r\sin \psi\end{array}}\)

to są te?

Przepraszam, że tak męczę to moje początki z całkami potrójnymi, na ćwiczeniach nie mieliśmy a na egzaminie są i muszę sama się ich nauczyć .

I to mam podstawić do kuli czy funkcji \(\displaystyle{ g(x,y,z)??}\)
I jak wogóle jak do nich obszary wyznaczyć?

[xanowron]

Kula jest gładką rozmaitością więc możemy używać mnożników Lagrange'a, tak będzie najszybciej chyba.

[silvaran]

werka9191, podstawiasz to do funkcji i do wzoru opisującego kulę

xanowron,

tu masz opisaną metodę dla okręgu. Dla sfery jeszcze by się to przerobiło analogicznie (jeden wymiar więcej ). Szczerze się przyznam, że nie spotkałem się z taką metodą nigdy

[werka9191]

\(\displaystyle{ G(x,y,z)= 2x+4y-z+\lambda(x^2+y^2+z^2-12)}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \frac{ \partial F}{ \partial x}=2+2\lambda x =0\\ \frac{ \partial F}{ \partial y}=4+2\lambda y =0\\ \frac{ \partial F}{ \partial z}=-1+2\lambda z =0\\ G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 =12 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \lambda= \frac{-1}{x} \\ \lambda= \frac{-2}{y} \\ \lambda= \frac{1}{2z} \\ x^2+y^2+z^2 =12 \end{array}}\)

i co dalej z tym??;/

-- 15 lut 2012, o 11:36 --

ja juz wkoncu sie pogubiłam. to czyli lepiej te sferyczne podstawiac???

[silvaran]

Korzystasz z tego drugiego układu, gdzie masz lambdy.

\(\displaystyle{ \frac{-2}{y}=\lambda= \frac{-1}{x}}\) Z tego masz zależność x od y. Podobnie z trzecim. A konkretne rozwiązanie wyjdzie Ci po wstawieniu do ostatniej równości