ekstrema funkcji

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 14 lut 2012, o 20:31

Wyznaczyć ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt[3]{\left( x ^{2}-4 \right) ^{2} }}\)

i mam taki problem że wyznaczyłam ekstremum w 0 ale nie wiem co z punktami 2 i -2

Z góry dzięki za pomoc

JankoS · Post autor: **JankoS** » 14 lut 2012, o 20:50

W tych punktach są minima lokalne równe 0. W zerze jest maksimum lokalne.

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 14 lut 2012, o 21:02

ale skąd wiadomo że to minima ? jak to wyliczyć ?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 14 lut 2012, o 22:25

Pochodna i te sprawy.

[edit] Pospieszyłem się - pochodna jest nieokreślona (w 2 i -2).

Ale jej znak w otoczeniu tych punktów można obadać.
A sama funkcja jest ciągła.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 15 lut 2012, o 02:33

Dla wyznaczenia punktów, w których funkcja ma ekstrema lokalne wystarczy zbadać funkcję podpierwiastkową. Oczywiście przy wyznaczaniu wartości tych ekstremów należy uwzględnić pierwiastek.

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 15 lut 2012, o 09:09

wiem jak wyznaczyć te punkty ale jak udowodnić że w 2 i -2 jest ekstremum przecież tam pochodna się nie zeruje bo te punkty do dziedziny nie należą.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 15 lut 2012, o 12:53

anetaaneta1 pisze:wiem jak wyznaczyć te punkty ale jak udowodnić że w 2 i -2 jest ekstremum przecież tam pochodna się nie zeruje bo te punkty do dziedziny nie należą.

Punkty nie należą do dziedziny pochodnej, ale należą do dziedziny funkcji.
A udowodnić można z definicji minimum.
Jak widać funkcja może mieć ekstrema w punktach innych od stacjonarnych.
Jeżeli Koleżanka już koniecznie chce zastosować rachunek różniczkowy, to proszę wyznaczyć ekstrema funkcji podpierwiastkowej.f(x) ma ekstrema dla tych samych argumentów; oczywiście wartości są pierwiastkiem z wartości ekstremów funkcji podpierwiastkowej.

nythrow · Post autor: **nythrow** » 16 lut 2012, o 19:11

\(\displaystyle{ f\left(x\right)=\sqrt[3]{\left(x^{2}-4\right)^{2}}

\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}}\)

Funkcja ma ekstremum tam, gdzie funkcja podpierwiastkowa ma estremum.

\(\displaystyle{ g\left(x\right)=\left(x^{2}-4\right)^{2}

g'\left(x\right)=4x\left(x^{2}-4\right)

\mathbb{D}':x\in\mathbb{R}

g'(x)=0\Leftrightarrow4x\left(x^{2}-4\right)=0

x=0\vee x=2\vee x=-2}\)

Z wykresu zmiany znaku pierwszej pochodnej możemy odczytać, że:

\(\displaystyle{ x=0}\) - maksimum.

\(\displaystyle{ x=2;x=-2}\) - minimum.

//Rozwiązanie poprawione.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 16 lut 2012, o 20:12

Ale w dwa i minus dwa pochodna nie istnieje.

nythrow · Post autor: **nythrow** » 16 lut 2012, o 21:56

Wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).
Nie mam więcej pytań.

: AU; biJBT.gif (3.71 KiB) Przejrzano 193 razy

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 16 lut 2012, o 21:57

Do czego to ?