metoda momentow

[koliber1000]

Niech \(\displaystyle{ X _{1}+...+X _{n}}\) bedzie proba prosta z rozkladu o gestosci danej wzorem \(\displaystyle{ f(t)= \frac{\left| t\right| }{\theta ^{2} }\amalg(-\theta,\theta)(t)}\)
z nieznanym parametrem \(\displaystyle{ \theta>0}\) Stosujac metode momentow wyznaczyc estymator \(\displaystyle{ \theta}\)

[miodzio1988]

No to zacznijmy od policzenia pierwszego momentu

[koliber1000]

Pierwszy moment wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{2}{3\theta}}\) , a we wskazowce do zadnia mialem podane ze nalezy pokazac ze mment pierwszego rzedu jest rowny zero i bazowac na momencie drugiego rzedu

[miodzio1988]

No to patrz na wskazówkę. Pokaż jak liczysz ten pierwszy moment

[koliber1000]

\(\displaystyle{ m _{1} = \int_{-\theta}^{\theta} t* \frac{\left| t\right| }{\theta ^{2} } dt}\)

dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\)

\(\displaystyle{ m _{1} = \int_{-\theta}^{\theta} t* \frac{t}{\theta ^{2} } dt= \frac{1}{\theta ^{2}} \int_{-\theta }^{\theta } t ^{2} =\frac{1}{\theta ^{2}}* \frac{1}{3} \theta ^{3} = \frac{2}{3}\theta}\)

dla \(\displaystyle{ t < 0}\)

\(\displaystyle{ m _{1} = \int_{-\theta}^{\theta} t* \frac{-t}{\theta ^{2} } dt= -\frac{1}{\theta ^{2}} \int_{-\theta }^{\theta } t ^{2} =\frac{1}{\theta ^{2}}* \frac{1}{3} \theta ^{3} =-\frac{2}{3}\theta}\)

[miodzio1988]

No wlasnie. Więc w sumie wychodzi nam zero, nie? Policz drugi moment zatem

[koliber1000]

Już sobie poradziłem, dzięki