Układ równań

[Kitka1990]

Zadanie brzmi następująco:
Jakie wartości i wektory własne ma macierz \(\displaystyle{ A=\begin{vmatrix} -1&1\\2&0\end{vmatrix}}\)?
Naszkicować rozwiązaniu układu \(\displaystyle{ x'=Ax}\)

Pierwsze zadanie wiem chodzi mi o :Naszkicować rozwiązaniu układu \(\displaystyle{ x'=Ax}\)

[luka52]

Rozwiązanie tego układu równań, to pewna rodzina krzywych w postaci parametrycznej \(\displaystyle{ \bigl(x_1(t), x_2(t) \bigr)}\). Zatem naszkicowanie rozwiązania polega na nadaniu stałym pewnych wybranych wartości i naszkicowaniu odpowiadającej im krzywej. Możesz za \(\displaystyle{ t}\) przyjąć kilka wartości np. \(\displaystyle{ -2, -1, 0, 1, 2}\) by określić położenie 5 punktów krzywej, a dalej połączyć "na oko" .
Warto też na koniec wrzucić dane do programu, który narysuje wykres porządnie w celu porównania.

[Kitka1990]

Takie zadanie miałam na egzaminie więc nie dałabym rady posłużyć się programem;)... A mógłbyś mi to rozwiązać<prosi>:)-- 13 lut 2012, o 21:49 --Dlaczego te punkty? i Jak je połączyć??

[luka52]

Nie, nie rozwiążę Ci tego zadania.
Punkty mogą być wybrane dowolnie - chodzi o naszkicowanie, a w tym pomocne jest wyznaczenie kilku punktów, które należą do krzywej by mniej więcej określić jak ona wygląda.

[Kitka1990]

Dobrze rozumiem? mam np.
\(\displaystyle{ x _{1}\left( t\right) =- C _{1} e ^{-2t} +C _{2} e ^{-t}}\)
\(\displaystyle{ x _{2}\left( t\right) = C _{1} e ^{-2t} +2C _{2} e ^{-t}}\)

\(\displaystyle{ x _{1}\left( t\right) = C _{1} e ^{4} +C _{2} e ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x _{1}\left( t\right) = C _{1} e ^{4} +C _{2} e ^{2}}\)
i znaleźć\(\displaystyle{ C _{1} C _{2}}\) ??

[luka52]

Aby naszkicować jakieś rozwiązanie, musisz ustalić stałe \(\displaystyle{ C_1, C_2}\), tj. przyjąć ich wartość wedle uznania. Najprostsza krzywa całkowa to ta, dla której \(\displaystyle{ C_1 = 0}\) albo \(\displaystyle{ C_2 = 0}\) - wtedy otrzymamy prostą, o ile tak wygląda faktycznie rozwiązanie tego układu równań. Dalej możesz przyjąć \(\displaystyle{ C_1 = C_2 = 1}\) i narysować kolejne rozwiązanie.