As. ukośna z f-cji

[ciapek]

pojawił mi się kolejny problem dotyczacy pewnego zadania heheh; otóż:
\(\displaystyle{ a= \frac{f(x)}{x} = \frac{(x+2)e^{1/x}}{x} = \frac{xe^{1/x}}{x}+ \frac{2e^{1/x}}{x} =1}\) oczywiście granica przy \(\displaystyle{ x \to \infty}}\)
i teraz b, tu pojawia się mój problem :x \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}{(x+2)e^{1/x}-x}}\)... próbowałem wszelkie sposoby na granice ale cały czas mi wychodzą symbole nieoznaczone \(\displaystyle{ \infty - \infty}\) lub \(\displaystyle{ 0*\infty}\), przy moich próbach de l'Hospital tylko dodaje kolejnych symboli nieoznaczonych.
ktoś może pomóc? proszę

[aalmond]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}{(x+2)e^{1/x}-x} = \lim_{x \to \infty}{x \cdot e^{1/x}-x + 2e^{1/x}} = \lim_{x \to \infty} x\left ( e^{1/x} - 1 \right ) + \lim_{x \to \infty} 2e^{1/x} \\ \\
\lim_{x \to \infty} x \left ( e^{1/x} - 1 \right ) = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{1/x} - 1}{ \frac{1}{x} } \stackrel{[H]}{=} \lim_{x \to \infty}\frac{- \frac{1}{x^2} e^{1/x}}{ - \frac{1}{x^2} } = 1 \\ \\
\lim_{x \to \infty }2e ^{ \frac{1}{x} } = 2 \\ \\
\lim_{x \to \infty}{(x+2)e^{1/x}-x} = 3}\)