Witam! Mam do rozwiazania taki uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x'+y=2t\\3y'-2x+2t=0\end{cases}}\)
wyznaczam: \(\displaystyle{ y=2t-x'}\) , więc \(\displaystyle{ y'=2-x''}\)
wstawiam do rownania drugiego i wychodzi: \(\displaystyle{ -3x''-2x=-2t-6}\)
i teraz mam problem. tu trzeba chyba najpierw rozwiazac rownanie jednorodne, czyli podstawic:
\(\displaystyle{ -3x''-2x=0}\) i nie wiem co dalej. powinienem policzyc delte?
uklad rownan
-
szw1710
uklad rownan
Nie lubię tylu minusów.
\(\displaystyle{ 3x''+2x=2t+6}\)
Równanie jednorodne
\(\displaystyle{ 3x''+2x=0}\)
Równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ 3r^2+2=0\iff r^2=-\frac{2}{3}\iff r_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot i}\).
A więc CORJ jest postaci
\(\displaystyle{ x(t)=C_1\cos\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot t\right)+C_2\sin\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot t\right).}\)
Przewidujemy CSRN w postaci
\(\displaystyle{ x(t)=at+b}\)
Różniczkując i podstawiając do równania dostajemy
\(\displaystyle{ 2(at+b)=2t+6\iff a=1,\;b=3}\)
i CSRN jest postaci \(\displaystyle{ x_1(t)=t+3.}\)
Ostatecznie CORN jest postaci
\(\displaystyle{ x(t)=C_1\cos\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot t\right)+C_2\sin\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot t\right)+t+3.}\)
\(\displaystyle{ 3x''+2x=2t+6}\)
Równanie jednorodne
\(\displaystyle{ 3x''+2x=0}\)
Równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ 3r^2+2=0\iff r^2=-\frac{2}{3}\iff r_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot i}\).
A więc CORJ jest postaci
\(\displaystyle{ x(t)=C_1\cos\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot t\right)+C_2\sin\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot t\right).}\)
Przewidujemy CSRN w postaci
\(\displaystyle{ x(t)=at+b}\)
Różniczkując i podstawiając do równania dostajemy
\(\displaystyle{ 2(at+b)=2t+6\iff a=1,\;b=3}\)
i CSRN jest postaci \(\displaystyle{ x_1(t)=t+3.}\)
Ostatecznie CORN jest postaci
\(\displaystyle{ x(t)=C_1\cos\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot t\right)+C_2\sin\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot t\right)+t+3.}\)