[Teoria liczb] Suma początkowych liczb pierwszych.

[Marcinek665]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ S_{n}}\) sumę \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} p_i}\) początkowych \(\displaystyle{ n \ge 1}\) liczb pierwszych poczynając od \(\displaystyle{ p_1=2}\). Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) pomiędzy liczbami \(\displaystyle{ S_{n}}\) a \(\displaystyle{ S_{n+1}}\) istnieje kwadrat liczby naturalnej.

[jerzozwierz]

Eh, a już spodziewałem się czegoś ambitnego. Skorzystamy tylko z oczywistych nierówności \(\displaystyle{ \pi (n) \le n}\), oraz \(\displaystyle{ p_n \ge 2n - 1}\).

\(\displaystyle{ S_{n} \le n \pi (n) \le n^2}\)

\(\displaystyle{ S_{n} - S_{n-1} = p_n \le 2n - 1}\)

Do zakończenia banalny lemat, że w przedziale \(\displaystyle{ [1,n^2]}\) każdy przedział o długości nie mniejszej niż \(\displaystyle{ 2n-1}\) zawiera kwadrat liczby naturalnej.

[patry93]

\(\displaystyle{ S_{n} \le n \pi (n)}\)

Dlaczego?

[lastsigma]

To nie działa, bo : \(\displaystyle{ S_{n} > n^{2}}\)

[Marcinek665]

Korzystając z \(\displaystyle{ p_n \ge 2n-1}\) mamy: \(\displaystyle{ S_n = p_1 + p_2 + ... + p_n \ge 1 + 3 + ... + (2n-1) = n^2}\).

Więc coś się źle poszacowało chyba.

[Swistak]

Lololol, hahahaha co za blef.

\(\displaystyle{ S_{n} \le n \pi (n) \le n^2}\)

Ja bym się pokusił o zdanie, że \(\displaystyle{ S_n >n^2}\) .

\(\displaystyle{ p_n \ge 2n - 1}\)

\(\displaystyle{ p_n \le 2n - 1}\)

Hmmm... Zatem mamy długo poszukiwany wzór na n-tą liczbę pierwszą .


Ale mimo wszystko chyba jednak coś w tym kierunku, tylko inaczej to \(\displaystyle{ S_n}\) trzeba poszacować (tak myślę).

[KPR]

Ta ostatnia nierówność i lemat są w złe strony.

[jerzozwierz]

Wyszło się z wprawy : P
(ostatnia nierówność to literówka)

[KPR]

Podobne rozwiązanie (ale chyba poprawne):

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ p_n=2k-1}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ S_n\le \sum_{i=1}^k (2i-1)+1=k^2+1}\) (ta ostatnia 1 jest stąd, że 2 jest pierwsze). Teraz zapuszczamy lemat, o którym pisał jerzozwierz dla przedziału \(\displaystyle{ [1,k^2+1]}\).