trójkąt prostokątny z dłg. boków podzielnymi przez 3 z r. 1

[szykur]

Czy istnieje trójkąt prostokątny, którego długości boków są
liczbami naturalnymi, z których każda przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1?
Odpowiedź uzasadnij. z góry dzienki za pomoc

[lukasz1804]

Skoro długości boków dają resztę \(\displaystyle{ 1}\) przy dzieleniu ich przez \(\displaystyle{ 3}\), to są one liczbami postaci \(\displaystyle{ 3x+1, 3y+1, 3z+1}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x,y,z\in\mathbb{N}, x\le y<z}\).

Aby trójkąt był prostokątny, wobec twierdzenia Pitagorasa musi zachodzić równość \(\displaystyle{ (3x+1)^2+(3y+1)^2=(3z+1)^2}\). Warto teraz zauważyć, że reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) liczby postaci \(\displaystyle{ (3a+1)^2}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ a\in\mathbb{N}}\).
Sprawdź na podstawie powyższych wniosków, ile wynoszą reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) sumy \(\displaystyle{ (3x+1)^2+(3y+1)^2}\) i wyrażenia \(\displaystyle{ (3z+1)^2}\).