Równanie kwadratowe
-
pawellogrd
- Użytkownik
- Posty: 843
- Rejestracja: 19 lis 2009, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 121 razy
- Pomógł: 156 razy
Równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ \sqrt{1+x \sqrt{ \sqrt[2]{x}+12 } }=1+x \ \ |^2 \\ 1+x \sqrt{ \sqrt[2]{x}+12 } =1+2x+x^2 \\ \\ x \sqrt{ \sqrt[2]{x}+12 } = 2x + x^2 \\ \\ \sqrt{ \sqrt[2]{x}+12 } = 2+x \ \ |^2 \\ \\ \sqrt{x}+12 = 4 + 4x + x^2 \\ \\ \sqrt{x} = -8 + 4x + x^2 \\ \\ x^2 + 4x -\sqrt{x} - 8 = 0}\)
Dosc ciezko to rozwiazac...wrzucilem na wolframa to rownanie i podaje bardzo kosmiczna odpowiedz...
No i wlasciwie wypadaloby zaczac od wyznaczenia dziedziny czyli liczby pod pierwiastkami musza byc wieksze lub rowne zero zatem:
Po pierwsze \(\displaystyle{ 1 + x \sqrt{ \sqrt{x}+12 } \ge 0}\)
Po drugie \(\displaystyle{ \sqrt{x}+12 \ge 0}\)
Po trzecie \(\displaystyle{ x \ge 0}\)
Dosc ciezko to rozwiazac...wrzucilem na wolframa to rownanie i podaje bardzo kosmiczna odpowiedz...
No i wlasciwie wypadaloby zaczac od wyznaczenia dziedziny czyli liczby pod pierwiastkami musza byc wieksze lub rowne zero zatem:
Po pierwsze \(\displaystyle{ 1 + x \sqrt{ \sqrt{x}+12 } \ge 0}\)
Po drugie \(\displaystyle{ \sqrt{x}+12 \ge 0}\)
Po trzecie \(\displaystyle{ x \ge 0}\)
-
Scimitar
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 3 paź 2011, o 18:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Pomógł: 4 razy
Równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ \sqrt{1+x \sqrt{ \sqrt{x}+12 } }=1+x}\)
Dziedziną będzie zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oraz 0, bo w równaniu mamy \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) i to już wystarczająco wymusza, żeby wszystkie wyrażenia znajdujące się pod pierwiastkami w tym równaniu były dodatnie.
Podstawmy sobie: \(\displaystyle{ t= \sqrt{x}}\) (\(\displaystyle{ t \ge 0}\))
\(\displaystyle{ \sqrt{1+t^{2} \sqrt{t+12} }=1+t^{2} \ |()^2
\\ 1+t^{2} \sqrt{t+12} =t^{4}+2t^{2}+1
\\ t^{2} \sqrt{t+12} =t^{4}+2t^{2} \ |()^2
\\ t^{4}(t+12)=t^{8} +4t^6 +4t^4 \ |:t^4 (potem \ sprawdze \ dla \ t=0)
\\ t+12=t^4 +4t^2 +4
\\ t^4 +4t^2 -t-8=0}\)
Kłopotliwy wielomian :/ Potrzebny był wolfram, który mówi:
\(\displaystyle{ t=1.28238}\) (drugi przypadek jest ujemny, więc odrzucamy)
\(\displaystyle{ x = t^2 = 1.6444984644}\)
Obiecałem w pewnym momencie sprawdzić dla t=0. Gdy t=0, to też x=0, i można podstawić - okazuje się, że wówczas równość jest spełniona.
Znaleźliśmy zatem 2 rozwiązania: \(\displaystyle{ x=0 \ \vee \ x=1.6444984644}\).
Dziedziną będzie zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oraz 0, bo w równaniu mamy \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) i to już wystarczająco wymusza, żeby wszystkie wyrażenia znajdujące się pod pierwiastkami w tym równaniu były dodatnie.
Podstawmy sobie: \(\displaystyle{ t= \sqrt{x}}\) (\(\displaystyle{ t \ge 0}\))
\(\displaystyle{ \sqrt{1+t^{2} \sqrt{t+12} }=1+t^{2} \ |()^2
\\ 1+t^{2} \sqrt{t+12} =t^{4}+2t^{2}+1
\\ t^{2} \sqrt{t+12} =t^{4}+2t^{2} \ |()^2
\\ t^{4}(t+12)=t^{8} +4t^6 +4t^4 \ |:t^4 (potem \ sprawdze \ dla \ t=0)
\\ t+12=t^4 +4t^2 +4
\\ t^4 +4t^2 -t-8=0}\)
Kłopotliwy wielomian :/ Potrzebny był wolfram, który mówi:
\(\displaystyle{ t=1.28238}\) (drugi przypadek jest ujemny, więc odrzucamy)
\(\displaystyle{ x = t^2 = 1.6444984644}\)
Obiecałem w pewnym momencie sprawdzić dla t=0. Gdy t=0, to też x=0, i można podstawić - okazuje się, że wówczas równość jest spełniona.
Znaleźliśmy zatem 2 rozwiązania: \(\displaystyle{ x=0 \ \vee \ x=1.6444984644}\).