granica rozwiązanie

[kwachu WRO]

Muszę sprawdzić, czy istnieje granica funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{xy}{x ^{2} + y ^{2} }}\) w p. (0,0)

czy rozwiązanie powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{x}{x ^{2} }= \lim_{ x\to 0} \frac{x}{x * x}= \frac{1}{x} =0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ y\to 0} \frac{y}{y ^{2} }= \lim_{ y\to 0} \frac{y}{y * y}= \frac{1}{y} =0}\)

I czy ta granica istnieje?

[Summa]

\(\displaystyle{ \lim_{ (x,y) \to (0,0) } \frac{xy}{x ^{2} + y ^{2}}}\)
Granicę funkcji dwóch zmiennych można sprowadzić do przypadku granicy jednej zmiennej, podstawiając za: \(\displaystyle{ x = r \cos \phi + x_0 ; y = r \sin \phi +y_0}\) , przy czym \(\displaystyle{ x_0 , y_0}\) oznaczają współrzędne punktu w którym badamy granicę

\(\displaystyle{ x_0 = 0 , y_0 = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ r \to 0 } \frac{r^2 cos \phi \sin \phi}{r^{2} \cos ^{2} \phi + r^{2} \sin ^{2} \phi }=}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ r \to 0 } \frac{\frac{1}{2} r^2 2 \sin \phi \cos \phi}{r^{2}( \sin ^{2} \phi + \cos ^{2})}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ r \to 0 } \frac{\frac{1}{2} r^2 2 \sin 2 \phi}{r^{2}}= \frac{1}{2} \sin 2 \phi}\)
Zatem ta granica nie istnieje.

[gabi123456]

Niech \(\displaystyle{ (x'_{n},y'_{n})=(0, \frac{1}{n} )}\) oraz \(\displaystyle{ (x''_{n},y''_{n})=(\frac{1}{n}, \frac{1}{n} )}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\).
Są to ciągi zbieżne do punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\), gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } f(x'_{n},y'_{n})= \lim_{n \to \infty } \frac{0}{0+ \frac{1}{n^{2}} } =0}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (x''_{n},y''_{n})= \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{1}{n^{2}} }{ \frac{2}{n^2} }= \lim_{n \to \infty } \frac{n^{2}}{2n^{2}}= \frac{1}{2}}\)
Otrzymane granice są różne, zatem granica funkcji nie istnieje.