Znaleźć wielomian

[Kitka1990]

Dla funkcji \(\displaystyle{ f\left( x\right) =e^{3x+1}}\) określonej na przedziale \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\) znaleźć wielomian \(\displaystyle{ p {\in \prod_{1}}}\) taki że
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \left| f(x)-p(x)\right| ^{2} dx= min_{q \in \prod_{1}} \int_{-1}^{1} \left| f(x)-q(x)\right| ^{2} dx}\)
gdzie \(\displaystyle{ \prod_{1}}\) oznacza przestrzeń wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej\(\displaystyle{ 1}\)

Nie rozumiem o co w tym zadaniu chodzi...;/

[szw1710]

Masz wyznaczyć parametry \(\displaystyle{ a_0,b_0,}\) dla których funkcja dwóch zmiennych

\(\displaystyle{ F(a,b)=\int_{-1}^1 |e^{3x+1}-(ax+b)|^2dx}\)

przyjmuje wartość najmniejszą.

Zobacz też dla porównania 285082.htm , drugi post w wątku.

To się nazywa aproksymacją średniokwadratową. Tak naprawdę sprawa odbywa się w przestrzeni \(\displaystyle{ L^2([-1,1])}\) i szukana funkcja liniowa \(\displaystyle{ p(x)=a_0x+b_0}\) jest rzutem ortogonalnym wektora \(\displaystyle{ f(x)=e^{3x+1}}\) na podprzestrzeń wszystkich funkcji liniowych.

[Kitka1990]

\(\displaystyle{ a_{0} , b_{0}}\) liczy się za pomocą takiego ukadu?
\(\displaystyle{ a _{0} \int_{-1}^{1} x dx+ b _{0}\int_{-1}^{1}dx=\int_{-1}^{1}e ^{3x+1}dx}\)
\(\displaystyle{ a _{0} \int_{-1}^{1} x ^{2} dx+ b _{0}\int_{-1}^{1}xdx=\int_{-1}^{1}xe ^{3x+1}dx}\)

[szw1710]

Nie. Podałem Ci w całce postać funkcji \(\displaystyle{ F(a,b),}\) którą masz zminimalizować. TO co piszesz oznaczałoby, że

\(\displaystyle{ \int_{-1}^2 (x+1)e^{3x+1}dx=\int_{-1}^1 \bigl(a_0(x+x^2)+2b_0x\bigr)dx,}\)

co nie ma nic wspólnego z zadaniem, które masz rozwiązać.

[Kitka1990]

F(a,b) mam wymnożyć i scałkować i znaleźć minimum? Nie ma łatwiejszego sposobu?

[szw1710]

To łatwa funkcja dwóch zmiennych. Takie straszne to wymnożenie? Lenistwo Cię wieczorem bierze

[Kitka1990]

Wieczorem to ja dopiero zaczynam się uczyć;) w dzień mam inne obowiązki:)
...Nie ale całki gorsze... a jak wyliczę całki to później co robię?

[szw1710]

Można jeszcze korzystać z twierdzenia o najlepszej aproksymacji, ale dla mnie najlepszym jest teraz pójść spać. Dobrej nocy.

[Kitka1990]

No tak późna godzina... ale ja chodzę późno spać.... (niestety) czyli ze wzoru:
\(\displaystyle{ p=<f,e_{1}>e_{1}+<f,e_{2}>e_{2}}\)??-- 11 lut 2012, o 00:37 --\(\displaystyle{ e_{1}=1
e_{2}=x}\)??
czyli:
\(\displaystyle{ p= \int_{-1}^{1}e^{3x+1}dx + \int_{-1}^{1}xe^{3x+1}dxx}\)