[Teoria liczb] Kangur - trudne zadania

Gastly · Post autor: **Gastly** » 8 lut 2012, o 07:51

Hej, mam problem z paroma zadaniami.

1. Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ x}\) wyrażenie \(\displaystyle{ 8(x-2)^{5}-x^{2}+14x-24}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\)?

a) \(\displaystyle{ x=199994}\)
b) \(\displaystyle{ x=199996}\)
c) \(\displaystyle{ x=199997}\)
d) \(\displaystyle{ x=199998}\)
e) \(\displaystyle{ x=199999}\)

2. Piszemy jednym ciągiem wszystkie liczby naturalne: \(\displaystyle{ 1234567891011121314...}\) Jaka cyfra wypadnie na 1994 miejscu?

czekoladowy · Post autor: **czekoladowy** » 8 lut 2012, o 08:13

1. Mod 5
2. liczysz ile masz liczb 2-cyfrowych... I ile cyfr one zajmują... Itd.

Gastly · Post autor: **Gastly** » 8 lut 2012, o 09:12

Pierwsze da się zrobić jakoś inaczej? To zadanie pochodzi z Kangura 1994, poziom Kadet? Dzięki, 2 zrozumiałem, po południu spróbuję je zrobić.

czekoladowy · Post autor: **czekoladowy** » 8 lut 2012, o 10:32

Musisz poszukać jaką resztę musi dawać x z dzielenia przez 5 (dwie odpowiedzi mozesz odrzucic bo reprezentują taką samą resztę)

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 8 lut 2012, o 11:15

Ad 1.
Można to rozwiązywać tak:

\(\displaystyle{ 8(x-2)^{5}-x^{2}+14x-24\equiv 3(x-2)-(x-2)^2 \equiv -x(x-2)}\).

Skoro jednak nie chcesz używać kongruencji a wiesz, że tylko jedna odpowiedź jest dobra, to możesz rozpisać

\(\displaystyle{ 8(x-2)^{5}-x^{2}+14x-24=8(x-2)^5 - (x-7)^2 + 25}\).