zamiana na współrzędne biegunowe

[myturn]

Proszę o pomoc,

muszę policzyć całkę podwójną po zbiorze \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+2x \le 0}\)
Koło jest przesunięte, ma środek w punkcie \(\displaystyle{ (-1,0)}\).
Nie wiem jakie przedziały ma całka podwójna po zamienieniu na współrzędne biegunowe..

Z góry dziękuję

[Chromosom]

Wykonaj rysunek. Na tej podstawie łatwo to ustalisz.

[myturn]

Wykonałam, jak pisałam powyżej, środek w (-1,0). Robiłam z przesunięciem w lewo, nie wiem jak to odnieść do takiego..

Czy mogę jednak liczyć na jakąś pomoc?

[Chromosom]

W przypadku współrzędnych przesuniętych obszar można opisać za pomocą nierówności:

\(\displaystyle{ 0\le\phi\le2\pi\\0\le r\le1}\)

czyli tak samo, jak jest w przypadku współrzędnych nieprzesuniętych.

[myturn]

A czy jakobianem będzie \(\displaystyle{ r}\)? Co się w takim razie zmieni..?

[Chromosom]

Zgadza się, jakobian wynosi \(\displaystyle{ r}\). Zmienią się równania przekształcające obszar w siebie; w tym przypadku

\(\displaystyle{ x+1=r\cos\phi\\ y=r\sin\phi}\)

[myturn]

Dziękuję za pomoc, już chyba mi wyszło;)

[matematix]

Może ktoś mi wytłumaczyć dlaczego w tym wypadku \(\displaystyle{ 0\le\phi\le2\pi}\)?
W mojej książce pisze, że \(\displaystyle{ \phi}\) oznacza miarę kąta między dodatnią częścią osi \(\displaystyle{ OX}\) a promieniem wodzącym punktu \(\displaystyle{ P}\). Z tego by wynikało chyba, że \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} \le\phi\le \frac{3\pi}{2}}\)

[Chromosom]

matematix, ponieważ w książce posłużono się współrzędnymi nieprzesuniętymi.