Indukcja rozwiązanie i problemy wg wikipedii

[finapliks]

Mamy zadanie
\(\displaystyle{ 3^{1}+3^{2}+...+3^{n}=\frac{3}{2}(3^{n}-1)}\)
Moje rozwiązanie nie wiem co gdzie źle robię bo nie wychodzi
Dowód
1=Spr dla n=1 no to wiadomo
\(\displaystyle{ 3^{1}=\frac{3}{2}(3^{1}-1)}\)
\(\displaystyle{ 3=3}\)
2 Założenie indukcyjne . Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej dodatniej liczby naturalnej k
\(\displaystyle{ 3^{1}+3^{2}+...+3^{k}=\frac{3}{2}(3^{k}-1)}\)
\(\displaystyle{ k\in N^{+}}\)
3 Teza indukcyjna . Twierdzenie dla k+1
\(\displaystyle{ 3^{1}+3^{2}+...+3^{n+1}=\frac{3}{2}(3^{n+1}-1)}\)
4 Jeśli prawdziwe dla k to jest prawdziwe dla k+1
\(\displaystyle{ 3^{1}+3^{2}+...+3^{n+1}=3^{1}+3^{2}+...+3^{n}+3^{n+1}}\)
Na mocy założenia
\(\displaystyle{ 3^{1}+3^{2}+...+3^{n}=\frac{3}{2}(3^{n}-1)}\)
zatem
\(\displaystyle{ 3^{1}+3^{2}+...+3^{n+1}=\frac{3}{2}(3^{n}-1)+3^{n+1}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{3(3^{n}-1)+3(3^{n+1})}{2}}\)
Wydaję mi się, że coś źle robię

[Qń]

Trochę Ci się mieszają \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\) - lepiej w ogóle nie wprowadzaj zmiennej \(\displaystyle{ k}\), bo to zbędne, a tylko robi się chaos.

Schemat rozwiązania jest prawidłowy, tylko na samym końcu źle przekształciłeś.

Q.

[finapliks]

W którym momencie robie błąd??? rozszerz proszę jesli możesz swoją wypowiedź

[Qń]

\(\displaystyle{ \frac{3}{2}(3^{n}-1)+3^{n+1}=\frac{3(3^{n}-1)+3(3^{n+1})}{2}}\)

Ta równość nie jest prawdziwa - źle sprowadziłeś do wspólnego mianownika. Wygodniej chyba zresztą nie sprowadzać do wspólnego mianownika, tylko wyłączyć \(\displaystyle{ \frac 32}\) przed nawias.

Q.

[finapliks]

no tak ale prawa strona tezy (punkt 3)
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}(3^{n+1}-1)}\)
nie jest równa
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}(3^{n}-1)+3^{n+1}}\)
czegoś chyba nie rozumiem

[Qń]

Jest równa:
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\left( 3^{n}-1\right) +3^{n+1}= \frac 32 \left( \left( 3^n-1 \right) + \frac 23 \cdot 3^{n+1}\right) =\\ =\frac 32 \left( 3^n-1 + 2 \cdot 3^{n}\right) = \frac 32 \left( 3\cdot 3^n-1 \right) =\frac 32 \left( 3^{n+1} -1\right)}\)

[finapliks]

zniknelo \(\displaystyle{ n+1}\) i jest \(\displaystyle{ n}\) , dlaczego? potem między 3 a 4 działaniem co się stało z \(\displaystyle{ 2 \cdot 3^n}\)

dobra \(\displaystyle{ n+1}\) zamieniło się na \(\displaystyle{ n}\) bo podzielone przez \(\displaystyle{ 3}\) to tak jakbym odjął \(\displaystyle{ 1}\).
ale co dalej gdzie znikneła \(\displaystyle{ 2 \cdot 3^n}\) ta dwójka?

[anna_]

\(\displaystyle{ \frac 23 \cdot 3^{n+1}\right)=\frac 23 \cdot 3^{n} \cdot 3\right)=...}\)

\(\displaystyle{ 3^n+2 \cdot 3^n=3 \cdot 3^n}\)

[Qń]

ale co dalej gdzie znikneła \(\displaystyle{ 2 \cdot 3^n}\) ta dwójka?

\(\displaystyle{ 3^n + 2\cdot 3^n = (1+2) \cdot 3^n = 3\cdot 3^n = 3^{n+1}}\)

Q.

[finapliks]

dlaczego (1+2)? nie rozumiem logiki tych działań mam wrażenie, że nie wiem jakich kroków użyliście ,żeby wyszła wam dalsza część

[anna_]

Wyłącz sobie \(\displaystyle{ 3^n}\) przed nawias

[finapliks]

hahaha już kminie ale coś czuję, że na egzaminie nie wpadnę na takie pomysły ....
ostatnie pytanie dlaczego pomnożone przez\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)

[anna_]

Jest równa:
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\left( 3^{n}-1\right) +3^{n+1}= \frac 32 \left( \left( 3^n-1 \right) + \frac 23 \cdot 3^{n+1}\right)}\)

W tm miejscu Qń wyłaczył \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) przed nawias-- dzisiaj, o 19:46 --Możesz to skończyć tym swoim sposobem

\(\displaystyle{ \frac{3(3^{n}-1)+2(3^{n+1})}{2}}\)

[finapliks]

Próbuję ale mi nie wychodzi mimo , że teraz sprowadzono w odpowiedni sposób.

ok chyba mam . Proszę was o sprawdzenie poprawności .
Wyciągamy sobie\(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) a w drugim skracamy 2 w liczniku i 2 mianowniku i wuala czy to poprawne myślenie?
\(\displaystyle{ \frac{3(3^{n}-1)+2(3^{n+1})}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}(3^{n}-1)+\frac{2(3^{n+1})}{2}}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ \frac{3(3^{n}-1)+2(3^{n+1})}{2}=\frac{3 \cdot 3^{n}-3+2 \cdot 3^{n+1}}{2}=\frac{3^{n+1}-3+2 \cdot 3^{n+1}}{2}=\frac{3 \cdot 3^{n+1}-3}{2}=\frac{3 \cdot (3^{n+1}-1)}{2}}\)