Witam
Mam niestety problem z paroma zadaniami. Rozwiązywałem na wiele sposobów i nigdy poprawnie nie wyszło. Mam jutro z tego kartkówkę i chciałbym mieć przynajmniej jakieś zadanie rozwiązane aby spróbować podobne. Robiłem łatwiejsze i zawsze dobrze wychodziły :/
zad.1
Wyznacz wszystkie wartości parametru m (m przynależy do zbioru R), dla których równanie \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+4x-8y+m^{2}-3m+10=0}\) opisuje okrąg.
zad.2
Prosta k jest styczna do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+6x+4y+11=0}\) w punkcie A(-2,-1). Wyznacz równanie prostej k.
zad.3
Napisz równania stycznych do okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2x+12y+28=0}\) i prostopadłych do prostej k o równaniu \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}x}\)
zad.4
Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC, gdzie A(-5,4) B(1,2) C(-3,6)
Koło i okrąg w układzie współrzędnych
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Koło i okrąg w układzie współrzędnych
\(\displaystyle{ 1.\\
x^{2}+y^{2}+4x-8y+m^{2}-3m+10=0\\
x^2+4x+4+y^2-8y+16+m^2-3m-10=0\\
(x+2)^2+(y-4)^2=10+3m-m^2\\
10+3m-m^2>0\\
-(m-5)(m+2)>0\\
m\in(-2,5)}\)
-- 7 lut 2012, o 17:11 --
\(\displaystyle{ 2.\\
x^{2}+y^{2}+6x+4y+11=0\\
x^2+6x+9+y^2+4y+4=2\\
(x+3)^2+(y+2)^2=2\\
S=(-3,-2)\\
\vec{SA}=[1,1]\\
P=(x,y)\\
\vec{SA}\cdot\vec{AP}=0\Rightarrow [1,1]\cdot[x+2,y+1]=x+2+y+1=x+y+3=0\\
k:\ x+y+3=0}\)
x^{2}+y^{2}+4x-8y+m^{2}-3m+10=0\\
x^2+4x+4+y^2-8y+16+m^2-3m-10=0\\
(x+2)^2+(y-4)^2=10+3m-m^2\\
10+3m-m^2>0\\
-(m-5)(m+2)>0\\
m\in(-2,5)}\)
-- 7 lut 2012, o 17:11 --
\(\displaystyle{ 2.\\
x^{2}+y^{2}+6x+4y+11=0\\
x^2+6x+9+y^2+4y+4=2\\
(x+3)^2+(y+2)^2=2\\
S=(-3,-2)\\
\vec{SA}=[1,1]\\
P=(x,y)\\
\vec{SA}\cdot\vec{AP}=0\Rightarrow [1,1]\cdot[x+2,y+1]=x+2+y+1=x+y+3=0\\
k:\ x+y+3=0}\)
Ostatnio zmieniony 7 lut 2012, o 17:15 przez octahedron, łącznie zmieniany 2 razy.
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3040
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Koło i okrąg w układzie współrzędnych
zad2 (alternatywne rozwiązanie)
Przekształcasz równanie okręgu do postaci \(\displaystyle{ \left( x +3\right) ^{2} + \left( y+2 \right) ^{2} = 2}\)
Z niego odczytujesz środek okręgu. Narysuj sobie schematycznie okrąg i prostą \(\displaystyle{ k}\). Znajdź równanie prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ k}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\). Znajdziesz to równanie, posługując się np. równaniem prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.
Wykorzystując fakt, że iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy \(\displaystyle{ -1}\) , a także to, że do prostej \(\displaystyle{ k}\) należy punkt \(\displaystyle{ A}\), wyznaczysz równanie prostej \(\displaystyle{ k}\).
zad3
Sprowadź równanie okręgu do postaci takiej, żeby odczytać środek i promień. Przeprowadź taką prostą równoległą do \(\displaystyle{ k}\), żeby przechodziła przez środek okręgu. Wyznacz jej równanie. Następnie rozwiąż układ równań (oznaczymy ten układ jako \(\displaystyle{ *}\) ) złożony z równania okręgu i równania narysowanej prostej równoległej przechodzącej przez środek okręgu. W ten sposób znajdziesz współrzędne punktów styczności. Zauważ, że szukane styczne styczne będą miały równania: \(\displaystyle{ y _{1} = 2x+b _{1}}\) i \(\displaystyle{ y _{2} = 2x+b _{2}}\) (dlaczego?). Brakujące współczynniki \(\displaystyle{ b _{1}}\) , \(\displaystyle{ b _{2}}\) wyznaczysz poprzez wstawienie do równań \(\displaystyle{ y _{1} = 2x+b _{1}}\) i \(\displaystyle{ y _{2} = 2x+b _{2}}\) współrzędnych punktów styczności wyliczonych z układu równań \(\displaystyle{ *}\).
zad4
Nie wiem czy najprościej, ale możesz skorzystać z faktu, że punkt przecięcia symetralnych odcinków trójkąta jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Trzeba zatem wyznaczyć równanie prostych zawierających boki trójkąta (wystarczą dwie takie proste), może być np. prosta \(\displaystyle{ AB}\) i prosta \(\displaystyle{ AC}\). Następnie znaleźć środki odcinków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) i wyznaczyć równania symetralnych tych odcinków. Punkt przecięcia tych symetralnych znajdziesz, układając układ równań z wyznaczonych wcześniej równań symetralnych. Jak rozwiążesz ten układ, to dostaniesz współrzędne punktu, który jest środkiem szukanego okręgu. Promień okręgu to długość odcinka od środka okręgu do dowolnego z punktów należących do okręgu.
Przekształcasz równanie okręgu do postaci \(\displaystyle{ \left( x +3\right) ^{2} + \left( y+2 \right) ^{2} = 2}\)
Z niego odczytujesz środek okręgu. Narysuj sobie schematycznie okrąg i prostą \(\displaystyle{ k}\). Znajdź równanie prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ k}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\). Znajdziesz to równanie, posługując się np. równaniem prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.
Wykorzystując fakt, że iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy \(\displaystyle{ -1}\) , a także to, że do prostej \(\displaystyle{ k}\) należy punkt \(\displaystyle{ A}\), wyznaczysz równanie prostej \(\displaystyle{ k}\).
zad3
Sprowadź równanie okręgu do postaci takiej, żeby odczytać środek i promień. Przeprowadź taką prostą równoległą do \(\displaystyle{ k}\), żeby przechodziła przez środek okręgu. Wyznacz jej równanie. Następnie rozwiąż układ równań (oznaczymy ten układ jako \(\displaystyle{ *}\) ) złożony z równania okręgu i równania narysowanej prostej równoległej przechodzącej przez środek okręgu. W ten sposób znajdziesz współrzędne punktów styczności. Zauważ, że szukane styczne styczne będą miały równania: \(\displaystyle{ y _{1} = 2x+b _{1}}\) i \(\displaystyle{ y _{2} = 2x+b _{2}}\) (dlaczego?). Brakujące współczynniki \(\displaystyle{ b _{1}}\) , \(\displaystyle{ b _{2}}\) wyznaczysz poprzez wstawienie do równań \(\displaystyle{ y _{1} = 2x+b _{1}}\) i \(\displaystyle{ y _{2} = 2x+b _{2}}\) współrzędnych punktów styczności wyliczonych z układu równań \(\displaystyle{ *}\).
zad4
Nie wiem czy najprościej, ale możesz skorzystać z faktu, że punkt przecięcia symetralnych odcinków trójkąta jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Trzeba zatem wyznaczyć równanie prostych zawierających boki trójkąta (wystarczą dwie takie proste), może być np. prosta \(\displaystyle{ AB}\) i prosta \(\displaystyle{ AC}\). Następnie znaleźć środki odcinków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) i wyznaczyć równania symetralnych tych odcinków. Punkt przecięcia tych symetralnych znajdziesz, układając układ równań z wyznaczonych wcześniej równań symetralnych. Jak rozwiążesz ten układ, to dostaniesz współrzędne punktu, który jest środkiem szukanego okręgu. Promień okręgu to długość odcinka od środka okręgu do dowolnego z punktów należących do okręgu.