Pochodne z parametrem

[kajcior]

1. Funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) dana jest wzorem:
\(\displaystyle{ f(x)=egin{cases} arccot x quad ext{dla } x in [0, infty) \ alpha - x quad ext{dla } x in (-infty ,0) end{cases}}\)

a) Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\) funkcja ta jest ciągła w \(\displaystyle{ x_{0} = 0}\)?
b) Czy wówczas \(\displaystyle{ f}\) posiada w zerze pochodną?

Prosiłbym o podanie "algorytmu" rozwiązywania takich zadań

[bartek118]

a) liczysz w zerze granice lewo- i prawostronną i muszą one być równe.

b) liczysz z definicji pochodną, najpierw z lewej potem z prawej strony. Jak wyjdą równe to jest różniczkowalna

[kajcior]

mógłbyś to rozpisać? tj. zrobić?

[bartek118]

1.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \arctan x = 0 \\
\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \alpha - x = \alpha}\)

Czyli, żeby była to funkcja ciągła to \(\displaystyle{ \alpha=0}\)

2. No to teraz jak znasz \(\displaystyle{ \alpha}\), to policz te pochodne w zerze (jednej części funkcji i drugiej) i zobacz czy będą równe.

[Dasio11]

O jedno \(\displaystyle{ c}\) za mało. :-]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \arccot x = \frac{\pi}{2}.}\)

[bartek118]

O jedno \(\displaystyle{ c}\) za mało. :-]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \arccot x = \frac{\pi}{2}.}\)

ajjj, faktycznie, źle przeczytałem Przepraszam, mój błąd