Wykazać, że liczba jest całkowita.

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 6 lut 2012, o 17:01

Witam. Mam takie zadanie:
Wykazać, że liczba
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 } - \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }}\)
jest całkowita.

Kumpel znalazł dowód, gdzie występuje przekształcony wzór na sześcian różnicy. Ja muszę to zrobić w inny sposób, żeby też móc dostać stopień za to Proszę więc o wskazówki i pozdrawiam.

Scimitar · Post autor: **Scimitar** » 6 lut 2012, o 17:21

Spróbuj tak: oznacz tą liczbę jako np. x i podnieś do sześcianu. Gdzieś w rachunkach wyskoczy Ci x, a pierwiastki same poznikają.

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 6 lut 2012, o 17:24

No właśnie tak zrobił kumpel, ja muszę inaczej A nie mam pomysłu na nic innego.

cyberciq · Post autor: **cyberciq** » 6 lut 2012, o 17:51

Ej spróbuj z tego, że \(\displaystyle{ a-b= \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}}\).

pozdrawiam

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 6 lut 2012, o 20:15

Na górze zniknie pierwiastek wtedy, a jak zapisać dół kiedy podnoszę do kwadratu, a pierwiastek mam trzeciego stopnia? Nie wiem jak to się zachowuje w takim przypadku.

cyberciq · Post autor: **cyberciq** » 6 lut 2012, o 20:36

dawid.barracuda, dół Ciebie nie interesuje, bo sie wyzeruje licznik.

/EDIT
Aj nie wyzeruje się, w pamięci sobie skróciłem Ale to nic, normalnie mnożysz pierwiastki w mianowniku.

Scimitar · Post autor: **Scimitar** » 6 lut 2012, o 20:41

W pewnym momencie dochodzisz (najpewniej właśnie o tym mówisz) do postaci:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 } - \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 } = \frac{4}{ {\sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 }}^{2} + { \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }}^{2}+1}}\)
czyli tak jakby (bo nie chce mi sie przepisywać tych pierwiastków):
\(\displaystyle{ x-y = \frac{4}{x^{2}+y^{2}+1}}\)
Kłopotliwą sumę kwadratów zastępujesz:
\(\displaystyle{ {x^{2}+y^{2}}=(x-y)^{2}+2xy}\)
\(\displaystyle{ (x-y)}\) jest naszym początkowym wyrażeniem, które oznaczmy \(\displaystyle{ a}\) (\(\displaystyle{ a=x-y}\)), natomiast:
\(\displaystyle{ {2xy}={2} \cdot { \sqrt[3]{( \sqrt{5} +2)( \sqrt{5} -2)} }= {2} \cdot \sqrt[3]{1} =2}\)
(tak samo należało postąpić wcześniej, żeby otrzymać 1 w mianowniku, które stoi koło kwadratów x i y - sorki, że wcześniej nie wspomniałem)
I masz wtedy równość:
\(\displaystyle{ {a}= \frac{4}{{a}^{2} +3}}\)
i ją już łatwo rozwiążesz. \(\displaystyle{ a}\) wyjdzie Ci całkowite, i tego należało dowieść

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 6 lut 2012, o 21:04

A z ciekawości: skąd ten wzór: \(\displaystyle{ a-b= \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}}\)? Skąd brać takie dziwadła?

major37 · Post autor: **major37** » 6 lut 2012, o 21:07

Rozpisz sobie licznik z wzoru i zobaczysz

Scimitar · Post autor: **Scimitar** » 6 lut 2012, o 21:13

dawid.barracuda, ja te liczby nazywałem akurat \(\displaystyle{ x, y}\), więc jeśli o nie Ci chodzi to tak.
Natomiast co do "dziwacznego" wzoru - to po prostu przekształcenie wzoru na różnice sześcianów:
\(\displaystyle{ {a^3-b^3} = ({a-b})({a^2+ab+b^2})}\)

edit: dawid.barracuda, nie edytuj swoich postów jak już na nie odpowiem, a przynajmniej nie usuwaj z nich treści, bo potem nie wiadomo o co chodzi w moim wyjaśnianiu

dawid.barracuda · Post autor: **dawid.barracuda** » 6 lut 2012, o 21:17

No to już rozumiem. Dzięki za wszystko. Pozdrawiam.-- 6 lut 2012, o 21:19 --

Scimitar pisze: edit: dawid.barracuda, nie edytuj swoich postów jak już na nie odpowiem, a przynajmniej nie usuwaj z nich treści, bo potem nie wiadomo o co chodzi w moim wyjaśnianiu

Wybacz, nie chciałem się chamsko zachować, ale jeszcze nie widziałem Twojej odpowiedzi przed poprawką mojego posta Tyle mogę tylko powiedzieć w swojej obronie

Scimitar · Post autor: **Scimitar** » 6 lut 2012, o 21:22

Nie ma problemu wybaczam