Rozstrzygnąć czy istnieje f'(0)

zahsar · Post autor: **zahsar** » 6 lut 2012, o 11:04

Mam problem z rozstrzygnięciem i policzeniem pierwszej pochodnej takiej funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = \sqrt[3]{e^{-3x}-e^{-9x}}}\)
Licząc z definicji zatrzymuję się na czymś takim:
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0 } \sqrt[3]{ \frac{1}{h^3} ( \frac{1}{e^{3h}} - \frac{1}{e^{9h}}) }}\)
No i w sumie wychodzi pod pierwiastkiem \(\displaystyle{ \infty * 0}\), a powinna \(\displaystyle{ \infty}\):

Kod: Zaznacz cały

http://tnij.org/wolframwynik

Kamulec · Post autor: **Kamulec** » 6 lut 2012, o 11:26

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{e^{-3h}} = e^{-h}}\) przed nawias.

zahsar · Post autor: **zahsar** » 6 lut 2012, o 11:47

No faktycznie
\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0 } \sqrt[3]{ \frac{1}{h^3}( \frac{1}{e^{h}} ( \frac{1}{e^{3}} - \frac{1}{e^{9}})) }}\)
i mam \(\displaystyle{ \infty}\) * skończoną liczbę, czyli się zgadza, dzięki :]

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 6 lut 2012, o 12:47

Ale niestety \(\displaystyle{ e^{3h}\ne e^3\cdot e^h}\).

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 6 lut 2012, o 14:09

Ja tu przede wszystkim widzę źle zastosowaną definicję pochodnej.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 6 lut 2012, o 18:31

Inkwizytor pisze:Ja tu przede wszystkim widzę źle zastosowaną definicję pochodnej.

Z tytułu wątku wynika, że chodzi o \(\displaystyle{ f'(0)}\) a nie \(\displaystyle{ f'(x)}\), więc chyba definicja jest dobrze.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 6 lut 2012, o 23:24

Aaaa....dopiero teraz zobaczyłem że w temacie jest \(\displaystyle{ f'(0)}\)

Kamulec · Post autor: **Kamulec** » 7 lut 2012, o 00:02

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{e^{x}}\sqrt[3]{1- \frac{1}{e^{6x}}}}\)