[MIX] Zadania przygotowawcze do II etapu OM.

[KameleonFCB]

1. Niech \(\displaystyle{ x,y,z \in (2;4).}\) Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sum_{cyc} \frac{x}{y^2-z} \ge 1}\)
2. Udowodnij, że \(\displaystyle{ n^{12}}\) dla dowolnej liczby naturarnej \(\displaystyle{ n}\) większej niż \(\displaystyle{ 2}\) można przedstawić jako sumę sześcianów pewnych trzech liczb naturalnych.
3. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) na dwusiecznej \(\displaystyle{ BB_1}\) wybrano punkt \(\displaystyle{ O}\) tak, że \(\displaystyle{ \angle OCA = \angle BAC + \angle ABC}\). \(\displaystyle{ AO}\) i \(\displaystyle{ CO}\) przecinają odpowiednio boki \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AB}\) w punktach \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ C_1}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \angle A_1B_1C_1=90^{\circ}}\).
4. Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest niestałym ciągiem arytmetycznym, którego wyrazami są liczby naturalne. Niech \(\displaystyle{ p_n}\) będzie największym dzielnikiem, będącym liczbą pierwszą, liczby \(\displaystyle{ a_n}\), dla \(\displaystyle{ n=1,2,3...}\). Pokaż, że ciąg \(\displaystyle{ (\frac{a_n}{p_n })}\) jest nieograniczony.
5. Ile jest liczby \(\displaystyle{ 10}\)-cyfrowych podzielnych przez \(\displaystyle{ 66667}\), których cyframi mogą być \(\displaystyle{ 3,4,5,6}\) ??
6. W trójmianie kwadratowym \(\displaystyle{ f(x)=x^2+ax+b}\) o współczynnikach całkowitych \(\displaystyle{ \left| f(0) \right| \le 800}\). Wiadomo też, że \(\displaystyle{ f(120)}\) jest liczbą pierwszą. Pokaż , że \(\displaystyle{ f}\) nie ma pierwiastków całkowitych.
7. O liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ x_0,x_1,...,x_n}\) wiadomo, że \(\displaystyle{ x_0>x_1>...>x_n}\).Udowodnij nierówność \(\displaystyle{ x_0+ \frac{1}{x_0-x_1}+ \frac{1}{x_1-x_2}+...+ \frac{1}{x_{x-1}-x_n} \ge x_n +2n}\).
8. Wyznaczyć największą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt[4]{1-a}+ \sqrt[4]{1+a}- \sqrt[4]{a}}\) .
9. Przekątne sześciokątnego przekroju sześcianu przecinają się w jednym punkcie. Udowodnij, że przekrój ten przechodzi przez środek sześcianu.
10. Wyznaczyć wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ W(x,y)}\) dwóch zmiennych dla których zachodzi równość \(\displaystyle{ W(x+y,y-x)=W(x,y)}\) dla każdych \(\displaystyle{ x,y}\).
11. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n>1}\) między liczbami \(\displaystyle{ n^2}\) i \(\displaystyle{ (n+1)^2}\) można znaleźć trzy różne liczby naturalne \(\displaystyle{ a,b,c}\) takie, że \(\displaystyle{ c^2}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ a^2+b^2}\).
12. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) ounkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\) . Wysokościami są odcinki \(\displaystyle{ AA_1}\), \(\displaystyle{ BB_1}\) , \(\displaystyle{ CC_1}\). Proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ A_1B_1}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ X}\) , a proste \(\displaystyle{ MC_1}\) i \(\displaystyle{ AC}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ Y}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ XY\left| \right| BC}\).
13. Znaleźć wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ p,q,r}\) spełniające równianie \(\displaystyle{ p^2+q^2+pq=15r^2}\)
14. Na krawędziach \(\displaystyle{ AD,BC,CC_1,C_1D_1,A_1B_1,AA_1}\) sześcianu \(\displaystyle{ ABCDA_1B_1C_1D_1}\) odpowiednio obrano punkty \(\displaystyle{ P,Q,R,S,T,U}\). Okazało się, że \(\displaystyle{ \angle PQB = \angle RQC}\) , \(\displaystyle{ \angle RSC_1 = \angle TSD_1}\) , \(\displaystyle{ \angle TUA_1 = \angle PUA}\), \(\displaystyle{ \angle QRC = \angle SRC_1}\) . \(\displaystyle{ \angle STB_1 = \angle UTA_1}\), \(\displaystyle{ \angle UPA = \angle QPD}\) . Wyznaczyć długość zamkniętej łamanej \(\displaystyle{ PQRSTUP}\), jeśli krawędź sześcianu ma długość \(\displaystyle{ 1}\).
15. Liczba \(\displaystyle{ x}\) spełnia nierówność \(\displaystyle{ [x]^2-x[x]+3 \le 0}\). Udowodnij , że \(\displaystyle{ x \ge 4,75}\).
16. Dwie funkcje homograficzne \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) są takie, że \(\displaystyle{ f(x)-g(x)>2012}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\), dla których obie funkcje są określone. Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)-g(x)}\) jest stała na swojej dziedzinie.
17. Udowodnić, że dla parami różnych x,y,z, takich, że \(\displaystyle{ x,y \ge 2}\) , \(\displaystyle{ z \ge 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ \prod_{cyc} (y^3+x) \ge 125xyz}\).
18. Wszystkie ściany wypukłego wielościanu są trójkątami, przy czym z każdego wierzchołka wychodzi co najmniej 5 krawędzi i żadne 2 wierzchołki z których wychodzi dokładnie 5 krawędzi nie łączy krawędź. Udowodnij, że w tym wielościanie istnieje ściana, z wierzchołków której wychodzi dokładnie 5,6 i 6 krawędzi.
19. Udowodnić, że istnieję zbiór stu różnych liczb naturalnych takich, że suma dowolnych 98 liczb spośród nich jest podzielna przez sumę pozostałych liczb.

[timon92]

zad 20 jest trochę słabe, gdy boki trójkąta są duże

[KameleonFCB]

Udowodnij dla każdego trójkąta.

[timon92]

no właśnie chodzi o to że się nie da, wstaw se \(\displaystyle{ a=b=c=1}\)

[KameleonFCB]

Fakt, zadanko zostało skasowane z listy

[Marcinek665]

Zadanie 17 również jest błędne. Wstawiając \(\displaystyle{ x=y=2}\) oraz \(\displaystyle{ z=1}\) otrzymujemy nierówność \(\displaystyle{ 270 \ge 500}\)

[timon92]

zad 3 też jest nieprawdziwe

[m-2]

7.

Ukryta treść:    

CS w formie Engela:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x_0-x_1}+ \frac{1}{x_1-x_2}+...+ \frac{1}{x_{n-1}-x_n}\geq \frac{n^2}{x_0-x_n}}\)
Wystarczy wykazać, że: \(\displaystyle{ x_0+\frac{n^2}{x_0-x_n}\geq x_n+2n}\) Mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ x_0-x_n>0}\) i zwijamy do postaci \(\displaystyle{ (n-x_0+x_n)^2\geq 0}\).

[kaszubki]

ten temat to chyba jakiś niezły troll. co drugie zadanie jest jakimś bullszitem :/

[KPR]

19. też nie działa, bo jak się napisze nierówności wynikające z tej podzielności i zsumuje je cyklicznie, to dostaniemy, że suma danych liczb jest niedodatnia.

[KameleonFCB]

timon mozesz powiedziec co nie gra ??

[timon92]

nie gra to, że teza jest nieprawdziwa

[Vax]

13:    

\(\displaystyle{ p^2+pq+q^2 = 15r^2}\)

Rozpatrując dane równanie modulo 5 zauważamy, że gdy p nie przystaje do 0 to równanie nie ma rozwiązań (Np jeżeli \(\displaystyle{ p\equiv 1\pmod{5}}\) mamy \(\displaystyle{ q^2+q+1 \equiv 0\pmod{5} \Leftrightarrow (2q+1)^2 \equiv 2\pmod{5}}\) a 2 jest nieresztą kwadratową modulo 5) więc \(\displaystyle{ p=5p'}\) analogicznie \(\displaystyle{ q=5q'}\) czyli nasze równanie przyjmuje postać:

\(\displaystyle{ 25p'^2+25p'q'+25q'^2 = 15r^2 \Leftrightarrow 5p'^2+5p'q'+5q'^2 = 3r^2}\) skąd \(\displaystyle{ r=5r'}\) i dostajemy \(\displaystyle{ 5p'^2+5p'q'+5q'^2 = 75r'^2 \Leftrightarrow p'^2+p'q'+q'^2 = 15r'^2}\), możemy tak schodzić w nieskończoność, skąd wynika że jednym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ (p,q,r) = (0,0,0)}\)

[Swistak]

19. też nie działa, bo jak się napisze nierówności wynikające z tej podzielności i zsumuje je cyklicznie, to dostaniemy, że suma danych liczb jest niedodatnia.

Ciekawe, co jeszcze xd

[adamm]

12.

Ukryta treść:    

punkty \(\displaystyle{ B,A,C_1,X}\) tworzą czworkę harmoniczną, stąd \(\displaystyle{ \frac{BX}{AX}=\frac{BC_1}{AC_1}}\), z Menelausa mamy też \(\displaystyle{ \frac{BM}{MC}\frac{CY}{YA}\frac{AC_1}{C1B}=1\iff \frac{CY}{YA}=\frac{C_1B}{AC_1}}\), mamy więc \(\displaystyle{ \frac{BX}{AX}=\frac{CY}{YA}\iff\frac{BA}{AX}=\frac{AC}{YA}}\) qed