Wykazanie homeomofizmu

[kasienkaj91]

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną.Sprawdź,że wzór \(\displaystyle{ d_{1}}\)(x,y)=\(\displaystyle{ \frac{d(x,y)}{3+d(x,y)}}\) określa metrykę w X.Pokaż,że g:(X,\(\displaystyle{ d_{1}}\))\(\displaystyle{ \rightarrow}\)(X,d),g(x)=x jest homeomorfizmem.
Potrafię rozwiązać pierwszą część zadania ale mam problem z wykazaniem homeomorfizmu.Proszę o pomoc.

[Ein]

Funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest oczywiście bijekcją, funkcją odwrotną do niej jest ona sama. Trzeba teraz pokazać, że jest ciągła oraz że odwrotna do niej jest również ciągłą. A więc weź ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) zbieżny do \(\displaystyle{ x}\) w \(\displaystyle{ d}\) i pokaż, że jest zbieżny do \(\displaystyle{ x}\) w \(\displaystyle{ d_1}\). Potem załóż, że jest zbieżny do \(\displaystyle{ x}\) w \(\displaystyle{ d_1}\) i pokaż, że jest zbieżny do \(\displaystyle{ x}\) w \(\displaystyle{ d}\). W którą stronę masz problem?