Problem z podpierścieniem

[makuu]

Mam pewien problem z rozumieniem definicji podpierścienia. Przecież, jak wiadomo, pierścień ma działania tylko umownie nazywanie dodawaniem i mnożeniem, a mogą to być także inne działania chyba?

Nie rozumiem w tw na podpierścień o co chodzi z tym \(\displaystyle{ a-b}\)? ponoć \(\displaystyle{ a-b=a+(-b)}\), gdzie \(\displaystyle{ -b}\) to element odwrotny \(\displaystyle{ b}\), w tym działaniu dodawania (umownie tak nazywanego)?

W przykładzie miałem, przy macierzach, że po prostu odejmowało się dwie macierze. Czegoś tu nie rozumiem, przecież jeśli mamy macierz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), i chcemy sprawdzić warunek \(\displaystyle{ a-b}\) należy do grupy która ma być podpierścieniem, to robimy to jako \(\displaystyle{ a+(-b)}\), czyli suma \(\displaystyle{ a}\) i macierzy odwrotnej do macierzy \(\displaystyle{ b}\). A taka suma takich macierzy to już przecież co innego jak normalne odejmowanie macierzy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), tzn \(\displaystyle{ a-b}\)?

Nie rozumiem o co chodzi dokładnie z tym \(\displaystyle{ a-b}\) i ogólnie \(\displaystyle{ -b}\), jak i z tymi działaniami dodawania i mnożenia, to mogą być jak rozumiem jakiekolwiek działania?

Byłbym wdzięczny za pomoc.

[arek1357]

Nie bardzo cię rozumiem, ale powiem tak w matematyce(strukturach algebraicznych) nie ma :
dodawania, odejmowania,
mnożenia i dzielenia.

Jest tylko: dodawanie i mnożenie!
dzielenie to tylko mnożenie a odejmowanie to dodawanie:
\(\displaystyle{ a-b=a+(-b)}\)

\(\displaystyle{ a:b=a* \frac{1}{b}}\)

Odejmowanie nawet jak mówisz na twoich macierzach jest to tylko dodawanie macierzy nie odwrotnej
lecz przeciwnej.
czyli : \(\displaystyle{ a-b = a +(-b)}\) tak na dobrą sprawę tworzysz macierz przeciwną do \(\displaystyle{ b}\) czyli \(\displaystyle{ -b}\) i ją dodajesz do \(\displaystyle{ a}\)
czyli nie ma tu innych działań jest tylko dodawanie i mnożenie ewentualnie.
Ale nic innego!

Pozdrawiam

[Ein]

Makuu: mylisz \(\displaystyle{ -b}\) z \(\displaystyle{ b^{-1}}\). W przykładzie z macierzami \(\displaystyle{ -b}\) to macierz otrzymana z macierzy \(\displaystyle{ b}\) poprzez przemnożenie każdego elementu macierzy \(\displaystyle{ b}\) przez \(\displaystyle{ -1}\); z kolei \(\displaystyle{ b^{-1}}\) to macierz odwrotna, czyli taka, że \(\displaystyle{ b\cdot b^{-1}=I}\), gdzie \(\displaystyle{ I=\text{diag}(1,\ldots,1)}\) -- oczywiście \(\displaystyle{ b^{-1}}\) nie musi w ogóle istnieć.

Każdy pierścień jest w szczególności grupą abelową, a w grupach abelowych przyjęło się używać notacji addytywnej, tzn. działanie jest nazywane dodawaniem i oznaczane przez plus \(\displaystyle{ +}\), a branie elementu odwrotnego do \(\displaystyle{ a}\) względem tego dodawania jest oznaczane przez \(\displaystyle{ -a}\) (zamiast \(\displaystyle{ a^{-1}}\)). By uprościć notację piszemy \(\displaystyle{ a-b}\) zamiast \(\displaystyle{ a+(-b)}\). W grupach niekoniecznie abelowych przyjęło się działanie nazywać mnożeniem i oznaczać przez \(\displaystyle{ \cdot}\), a właśnie w pierścieniu to drugie działanie nie musi być przemienne (choć może), stąd zwyczajowo nazywa się je właśnie mnożeniem (nawet jak jest przemienne). Z kolei czasami, żeby odróżnić element odwrotny względem dodawania (tj. \(\displaystyle{ -a}\)) od elementu odwrotnego względem mnożenia (tj. \(\displaystyle{ a^{-1}}\)), element odwrotny względem dodawania nazywa się elementem przeciwnym.

To wszystko, jak sam dobrze wiesz i widzisz, to jest tylko i wyłącznie kwestia konwencji.

[makuu]

Już wiem co mi się pomyliło. Faktycznie, tutaj przy działaniu dodawania(umownie tak nazywanego), w zbiorze macierzy rzeczywistych elementem odwrotnym będzie po prostu macierz z wartościami przeciwnymi, tzn ujemnymi a nie macierz odwrotna.



Czyli gdyby tym działaniem dodawania (umownie tak nazywanym) było mnożenie dla macierzy kwadratowych, gdzie elementem neutralnym wtedy względem tego dodawania (czyli mnożenia w tym przypadku) byłaby macierz jednostkowa, to dopiero wtedy przy sprawdzaniu jednego z warunków na podpierścień; a+(-b) (czyli de facto a*(-b) ) macierzą odwrotną do b, względem tego dodawania (tutaj mnożenia) byłaby macierz odwrotna? ( a nie przeciwna).

W tym przykładzie o którym pisałem, była tam macierz przeciwna, właśnie dlatego że dla dodawania (jednoznacznego, nie tylko w sensie umownym w tym przypadku) elementem odwrotnym jest właśnie macierz przeciwna?

Myślę że chyba tak to wygląda. Byłbym jeszcze wdzięczny jakby ktoś mnie upewnił że dobrze rozumuję.

[Ein]

Czyli gdyby tym działaniem dodawania (umownie tak nazywanym) było mnożenie dla macierzy kwadratowych, gdzie elementem neutralnym wtedy względem tego dodawania (czyli mnożenia w tym przypadku) byłaby macierz jednostkowa, to dopiero wtedy przy sprawdzaniu jednego z warunków na podpierścień; a+(-b) (czyli de facto a*(-b) ) macierzą odwrotną do b, względem tego dodawania (tutaj mnożenia) byłaby macierz odwrotna? ( a nie przeciwna).

Dokładnie tak. Przy czym pamiętaj, że to działania musi nam wyznaczać grupę abelową, a mnożenie macierzy nie jest przemienne oraz nie każda macierz ma macierz odwrotną -- trzeba by się ograniczyć do macierzy odwracalnych, by dostać tak zwaną grupę \(\displaystyle{ Gl_n}\), która nie jest abelowa.

Poza tym pamiętaj, że właśnie całe bogactwo świata pierścieni wynika ze związku pierwszego działania z drugim. Podsumowując, jeżeli mamy pierścień \(\displaystyle{ (R,\oplus,\odot)}\), to:

1) struktura \(\displaystyle{ (R,\oplus)}\) jest grupą abelową, a więc \(\displaystyle{ \oplus}\) zwane jest dodawaniem i oznaczane jako \(\displaystyle{ +}\),

2) struktura \(\displaystyle{ (R,\odot)}\) jest półgrupą (), a więc działanie nazywane jest mnożeniem i oznaczane jako \(\displaystyle{ \cdot}\),

3) \(\displaystyle{ \cdot}\) i \(\displaystyle{ +}\) są powiązane prawami rozdzielności: \(\displaystyle{ \forall a,b,c\in R: a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c,(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a}\),

4) ponieważ \(\displaystyle{ (R,+)}\) jest grupą, więc pierścień ma dokładnie jeden element neutralny względem działania \(\displaystyle{ \oplus}\) (oznaczanego \(\displaystyle{ +}\) i zwanego dodawaniem) oznaczany przez \(\displaystyle{ 0}\) i nazywany zerem,

5) element odwrotny do \(\displaystyle{ a}\) względem dodawania \(\displaystyle{ +}\) jest zwany elementem przeciwnym i oznaczanym jako \(\displaystyle{ -a}\),

6) jeżeli istnieje element neutralny względem mnożenia \(\displaystyle{ \cdot}\), to element ten jest jeden i oznaczany jest jako \(\displaystyle{ 1}\) a zwany jedynką, cały pierścień zaś nazywa się pierścieniem z jedynką,

7) dla elementu odwrotnego względem \(\displaystyle{ \cdot}\) nie ma żadnej specjalnej nazwy i mówi się po prostu o elemencie odwrotnym (i wiadomo już, że chodzi o mnożenie \(\displaystyle{ \cdot}\))

8) działanie \(\displaystyle{ \cdot}\) może być przemienne, ale nie musi, jeżeli jest przemienne to pierścień nazywa się przemiennym.

W tym przykładzie o którym pisałem, była tam macierz przeciwna, właśnie dlatego że dla dodawania (jednoznacznego, nie tylko w sensie umownym w tym przypadku) elementem odwrotnym jest właśnie macierz przeciwna?

Tak. Poza tym przeczytaj jeszcze raz to, co wypunktowałem powyżej.