Zbiory nieskończone

[siabal]

Mam takie zadanko:
Udowodnić, że dla dowolnej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \left\{ A_{i} : i \in T\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ I \subset T}\), to \(\displaystyle{ \bigcap_{i\in T}A_{i} \subset \bigcap_{i \in I}A_{i}}\)

I zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ x \in \bigcap_{i \in T} Ai \Leftrightarrow \forall_{i \in T} : x \in A_{i} \Leftrightarrow \forall i \left( i \in T \Rightarrow x \in A_{i}\right) \xrightarrow{*} \forall i\left( i \in I \Rightarrow x \in A_{i}\right) \Leftrightarrow \forall_{i \in I} :x\in A_{i} \Leftrightarrow x \in \bigcap_{i \in I}A_{i}
\\
\\
^{*} i \in T \wedge I \subset T \Rightarrow i \in I}\)

czy jest to poprawne ?

[Jan Kraszewski]

Nie. To nie jest prawda:

\(\displaystyle{ i \in T \wedge I \subset T \Rightarrow i \in I}\)

JK

[siabal]

Tragiczny błąd.

Jak można więc to pokazać wprost ?

[Jan Kraszewski]

Mniej więcej tak, jak pokazałeś, tylko z innym komentarzem. Jeżeli \(\displaystyle{ x\in A_i}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ i\in T}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ x\in A_i}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ i\in I}\), bo \(\displaystyle{ I \subseteq T}\).

JK

[siabal]

Dziękuję serdecznie.