Wyznaczanie macierzy odwrotnych

[Kasik5]

Chciałabym poprosić o wytłumaczenie mi jak mogę wyznaczyć miecierze odwrotne, ale na konkretnych przykładach. Jest to dla mnie niezrozumiałe. Próbowałam sama to zrozumieć, przeglądałam różne strony na ten temat, ale nic z tego. Mam spr z tego w sobotę, więc muszę to zrozumieć. Z góry dzięki

[Kasiula@]

Postaram się to wytłumaczyć najprosciej jak się da.
Weźmy macierz 2x2,np:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}2&3\\1&4\end{array}\right]}\)
Macierz jest odwracalna gdy \(\displaystyle{ det A \not = 0}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{det A}\left[\begin{array}{cc}+b_{11}&-b_{12}\\-b_{21}&+b_{22}\end{array}\right]^{T}}\)
\(\displaystyle{ det A=5 \not =0}\)

Co oznacza \(\displaystyle{ b_{ij}}\)??? W macierzy A skreślamy i-ty wierszy oraz j-ta kolumnę i z pozostałych wyrazów macierzy obliczamy wyznacznik. I to jest nasze \(\displaystyle{ b_{ij}}\). Zatem w naszym przykładzie mamy:
(1) skreslamy pierwszy wiersz i pierwsza kolumnę,obliczamy wyznacznik powstałej macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}4\end{array}\right]}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ b_{11}=4}\)
(2) skreslamy pierwszy wiersz i drugą kolumnę,obliczamy wyznacznik powstałej macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ b_{12}=1}\)
(3) skreslamy drugi wiersz i pierwsza kolumnę,obliczamy wyznacznik powstałej macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}3\end{array}\right]}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ b_{21}=3}\)
(4) skreslamy drugi wiersz i druga kolumnę,obliczamy wyznacznik powstałej macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}2\end{array}\right]}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ b_{22}=2}\)

Podstawiamy to do \(\displaystyle{ A^{-1}}\),czyli:
\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{det A}\left[\begin{array}{cc}+b_{11}&-b_{12}\\-b_{21}&+b_{22}\end{array}\right]^{T}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}+(4)&-(1)\\-(3)&+(2)\end{array}\right]^{T}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}4&-3\\-1&2\end{array}\right]}\)

Ogólnie co do tych "-" i "+" w macierzy odwrotnej to jest prosta zasada, a mianowicie:
\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{det A}\left[\begin{array}{cccc}+&-&+&...\\-&+&-&...\\+&-&+&...\\-&+&-&...\end{array}\right]^{T}}\)
Czyli zaczynamy od"+" w lewym górnym rogu i stawiamy na przemian "+" i "-",tak zeby w sasiedctwie nie bylo tych samych znaków.

Rozpatrzmy jeszcze macierz 3x3. Np:
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1\\0&-4&6\\-1&2&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ det B=-20 \not =0}\)

\(\displaystyle{ B^{-1}=\frac{1}{det B}\left[\begin{array}{ccc}+b_{11}&-b_{12}&+b_{13}\\-b_{21}&+b_{22}&-b_{23}\\+b_{31}&-b_{32}&+b_{33}\end{array}\right]^{T}}\)

Zaczynamy liczyć \(\displaystyle{ b_{ij}}\):

(1) skreslamy pierwszy wiersz i pierwsza kolumnę,obliczamy wyznacznik powstałej macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-4&6\\2&0\end{array}\right]}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ b_{11}=-12}\)

(2) skreslamy pierwszy wiersz i druga kolumnę,obliczamy wyznacznik powstałej macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&6\\-1&0\end{array}\right]}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ b_{12}=6}\)

(3) skreslamy pierwszy wiersz i trzecia kolumnę,obliczamy wyznacznik powstałej macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&-4\\-1&2\end{array}\right]}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ b_{13}=-4}\)

(4) skreslamy drugi wiersz i pierwsza kolumnę,obliczamy wyznacznik powstałej macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&-1\\2&0\end{array}\right]}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ b_{21}=2}\)

(5) skreslamy drugi wiersz i druga kolumnę,obliczamy wyznacznik powstałej macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&-1\\-1&0\end{array}\right]}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ b_{22}=-1}\)

(6) skreslamy drugi wiersz i trzecia kolumnę,obliczamy wyznacznik powstałej macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&2\\-1&2\end{array}\right]}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ b_{23}=4}\)

(7) skreslamy trzeci wiersz i pierwsza kolumnę,obliczamy wyznacznik powstałej macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&-1\\-4&6\end{array}\right]}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ b_{31}=8}\)

(8) skreslamy trzeci wiersz i druga kolumnę,obliczamy wyznacznik powstałej macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&-1\\0&6\end{array}\right]}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ b_{32}=6}\)

(9) skreslamy trzeci wiersz i trzecia kolumnę,obliczamy wyznacznik powstałej macierzy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&2\\0&-4\end{array}\right]}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ b_{33}=-4}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ B^{-1}=-\frac{1}{20}\left[\begin{array}{ccc}+(-12)&-(6)&+(-4)\\-(2)&+(-1)&-(4)\\+(8)&-(6)&+(-4)\end{array}\right]^{T}=-\frac{1}{20}\left[\begin{array}{ccc}-12&-2&8\\-6&-1&-6\\-4&-4&-4\end{array}\right]}\)

W przypadku wyzszych wymiarów ta metoda tez działa. Równiez mozna wyznaczać macierz odwrotna w następujący sposób:
Niech bedzie dana macierz A,szukamy macierzy B,która spełnia równanie: A*B=I (gdzie I macierz jednostkowa). Rozwiazanie tego równania sprowadza się do rozwiąznia układu równań na wyrazy macierzy B.

[Kasik5]

Dzięki nareszcie zrozumiałam i to jest łatwe Dzięki

[ Dodano: 19 Października 2007, 11:32 ]
a jak wyznacza się macierze odwrotne za pomocą operacji elementarnych? Prosiłabym o wytłumaczenie również za pomocą przykładów.

[narabanaMucha]

Już wiem o co chodzi.. to że z -6 zrobiło się -2 to przez transponowanie macierzy tak?

[Chromosom]

zacytuj fragment wiadomości co do którego masz wątpliwości

[Pisakkk1]

Moje pytanie brzmi czy w przypadku Macierzy B wyznacznik nie wychodzi 4 ?

[Chromosom]

wyznacznik obliczono poprawnie.

[Pisakkk1]

ze wzoru sarusa wychodzi mi 4-12-0+0+0+12 ?

[Chromosom]

błędnie zastosowałeś wzór.

[Pisakkk1]

hmm do macierzy B dopisuje dwa pierwsze wiersze i mnożę na krzyż , to nie wiem.

[Chromosom]

przedstaw sposób, w jaki mnożysz wiersze

[Pisakkk1]

najpierw do prawej strony czyli
\(\displaystyle{ (1 \cdot (-4) \cdot 0+0 \cdot 2 \cdot (-1)+1 \cdot 2 \cdot 6))-((-1) \cdot (-4) \cdot (-1)+6 \cdot 2 \cdot 1+0 \cdot 2 \cdot 0))=(0+0+12)-(-4+12-0)= 12-8=4}\)

[Chromosom]

prawidłowo powinno być: \(\displaystyle{ \cdots\,=1\cdot(-4)\cdot0+2\cdot6\cdot(-1)+(-1)\cdot0\cdot2}\)
dokończ samodzielnie.

[Pisakkk1]

Przepraszam za zamieszanie i dziękuje za pomoc;) Dopisałam jednak wyrazy z boku to lepiej to widziałam i nic mi się nie pomyliło

[il1612]

hej czy ktoś może mi pomóc w rozwiazaniu takiego zadania : oblicz det (A)=det |1 1 0 0
0 2 1 0
0 0 3 1
1 0 0 4
oraz macierz odwrotną do A