Witam. Nie umiem sobie poradzić... Jakby ktoś mógł będę wdzięczny.
Spadający swobodnie kamień ma w punkcie A pręckość \(\displaystyle{ v _{a}}\). Jaką prędkość będzie miał w punkcie B polożonym o L niżej od A. Pozdrawiam
Rzut swobodny.
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4084
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Rzut swobodny.
W dowolnej chwili t prawdziwa jest zależność
\(\displaystyle{ v(t)=gt}\)
Niech \(\displaystyle{ t_{a}}\) będzie chwilą, w której kamień znajuje się w punkcie A, czyli
\(\displaystyle{ v_{a}=gt_{a}}\)
Niech \(\displaystyle{ t_{b}}\) będzie chwilą, w której kamień znajuje się w punkcie B, czyli
\(\displaystyle{ v_{b}=gt_{b}}\) (1)
L jest drogą, jaką przebywa ciało spadające w czasie \(\displaystyle{ t=t_{b}-t_{a}}\), któremu nadano prędkość początkową o wartości \(\displaystyle{ v_{a}}\):
\(\displaystyle{ L=v_{a}t+\frac{gt^{2}}{2}}\)
Z tego wzoru wyliczamy t: \(\displaystyle{ t=\frac{\sqrt{v^{2}+2gL}-v}{g}}\)
Stąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ t_{b}-t_{a}=\frac{\sqrt{v_{a}^{2}+2gL}-v_{a}}{g}}\)
\(\displaystyle{ t_{b}=\frac{\sqrt{v_{a}^{2}+2gL}-v_{a}}{g}+t_{a}}\)
\(\displaystyle{ t_{b}=\frac{\sqrt{v_{a}^{2}+2gL}-v_{a}}{g}+\frac{v_{a}}{g}}\)
\(\displaystyle{ t_{b}=\frac{\sqrt{v_{a}^{2}+2gL}}{g}}\)
Podstawiamy tę zależność do wzoru (1) i otrzymujemy \(\displaystyle{ v_{b}=\sqrt{v_{a}^{2}+2gL}}\)
\(\displaystyle{ v(t)=gt}\)
Niech \(\displaystyle{ t_{a}}\) będzie chwilą, w której kamień znajuje się w punkcie A, czyli
\(\displaystyle{ v_{a}=gt_{a}}\)
Niech \(\displaystyle{ t_{b}}\) będzie chwilą, w której kamień znajuje się w punkcie B, czyli
\(\displaystyle{ v_{b}=gt_{b}}\) (1)
L jest drogą, jaką przebywa ciało spadające w czasie \(\displaystyle{ t=t_{b}-t_{a}}\), któremu nadano prędkość początkową o wartości \(\displaystyle{ v_{a}}\):
\(\displaystyle{ L=v_{a}t+\frac{gt^{2}}{2}}\)
Z tego wzoru wyliczamy t: \(\displaystyle{ t=\frac{\sqrt{v^{2}+2gL}-v}{g}}\)
Stąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ t_{b}-t_{a}=\frac{\sqrt{v_{a}^{2}+2gL}-v_{a}}{g}}\)
\(\displaystyle{ t_{b}=\frac{\sqrt{v_{a}^{2}+2gL}-v_{a}}{g}+t_{a}}\)
\(\displaystyle{ t_{b}=\frac{\sqrt{v_{a}^{2}+2gL}-v_{a}}{g}+\frac{v_{a}}{g}}\)
\(\displaystyle{ t_{b}=\frac{\sqrt{v_{a}^{2}+2gL}}{g}}\)
Podstawiamy tę zależność do wzoru (1) i otrzymujemy \(\displaystyle{ v_{b}=\sqrt{v_{a}^{2}+2gL}}\)
Rzut swobodny.
No ale i tak proszę powiedzcie jak wyznaczyć to t. Bo np może być zadanie w stylu pociąg z A wyruszył do B... I będzie trzeba obliczyć Z. I tam też wystąpi sprawa że gdzieś będzie \(\displaystyle{ z^{2}}\) a gdzieś zwykłe z...Pozdrawiam
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4084
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Rzut swobodny.
Nie umiesz rozwiązywać równań kwadratowych?
\(\displaystyle{ L=v_{a}t+\frac{gt^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{g}{2}t^{2}+v_{a}t-L=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = v_{a}^{2}+4 \cdot L \cdot \frac{g}{2}= v_{a}^{2}+2gL}\)
\(\displaystyle{ t_{1}=\frac{\sqrt{v_{a}^{2}+2gL}-v_{a}}{g}}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=\frac{-\sqrt{v_{a}^{2}+2gL}-v_{a}}{g}}\)
\(\displaystyle{ t_{2}}\) jest zawsze ujemne, więc to rozwiązanie odrzucamy.
\(\displaystyle{ L=v_{a}t+\frac{gt^{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{g}{2}t^{2}+v_{a}t-L=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = v_{a}^{2}+4 \cdot L \cdot \frac{g}{2}= v_{a}^{2}+2gL}\)
\(\displaystyle{ t_{1}=\frac{\sqrt{v_{a}^{2}+2gL}-v_{a}}{g}}\)
\(\displaystyle{ t_{2}=\frac{-\sqrt{v_{a}^{2}+2gL}-v_{a}}{g}}\)
\(\displaystyle{ t_{2}}\) jest zawsze ujemne, więc to rozwiązanie odrzucamy.