Dla jakich stałych a, b funkcja ma pochodną?

[przemulala]

Witam!


Mam takie oto zadanko:


"Wyznaczyć stałe \(\displaystyle{ a, b}\), dla których funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest klasy \(\displaystyle{ D^{1}(R)}\), jeżeli:

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x^{2}+2x+5, x \ge 1 \\ ax+b, x<1 \end{cases}}\)


Proszę sprawdzić moje rozumowanie:

klasa funkcji mówi nam o tym, że funkcja ma mieć pochodną. Aby funkcja mogła mieć pochodną w danym punkcie, musi być w tym punkcie ciągła. Musimy więc zapewnić ciągłość tej funkcji w punkcie tu: 1. Liczymy:

\(\displaystyle{ f(1)=8}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ \ 1^{+} } = 8}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ \ 1^{-} } = a + b}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ a+b = 8}\). Niestety, z takiego równania wynika jedynie nieskończona ilość możliwych par liczb. Dlatego wpadłem na coś takiego (czy to jest poprawne?):

\(\displaystyle{ (x^{2}+2x+5)' = 2x + 2}\)

Teraz przyjmuję, że to wyżej jest równe a i stąd mam wynik: \(\displaystyle{ a = b= 4}\), który jest zgodny z odpowiedziami, ale czy jest to rozwiązanie poprawne?... Proszę o odpowiedź!

[rodzyn7773]

To jest poprawne rozwiązanie tylko trzeba by było trochę lepiej wyjaśnić drugą część tego rozumowania.